Tính BC; cosC; cos B và R

Để tính toán các đại lượng trong tam giác ABC với các thông tin đã cho:

- Cạnh AC = 14
- Cạnh AB = 10
- Góc A = 120°

### a) Tính BC

Áp dụng định lý cosin để tính cạnh BC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(A)
\]
Thay thế các giá trị vào:
\[
BC^2 = 10^2 + 14^2 - 2 \times 10 \times 14 \times \cos(120^\circ)
\]
Biết rằng \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \):
\[
BC^2 = 100 + 196 + 2 \times 10 \times 14 \times \frac{1}{2}
\]
\[
BC^2 = 100 + 196 + 10 \times 14
\]
\[
BC^2 = 100 + 196 + 140
\]
\[
BC^2 = 436
\]
Vậy:
\[
BC = \sqrt{436} = 2\sqrt{109}
\]

### b) Tính cosC

Áp dụng định lý cosin:
\[
\cos C = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
\cos C = \frac{10^2 + (2\sqrt{109})^2 - 14^2}{2 \times 10 \times 2\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{100 + 4 \times 109 - 196}{40\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{100 + 436 - 196}{40\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{340}{40\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{34}{4\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{17}{2\sqrt{109}}
\]

### c) Tính cosB

Áp dụng định lý cosin:
\[
\cos B = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \times AC \times BC}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
\cos B = \frac{14^2 + (2\sqrt{109})^2 - 10^2}{2 \times 14 \times 2\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{196 + 436 - 100}{56\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{532}{56\sqrt{109}}
\]
\[
= \frac{133}{14\sqrt{109}}
\]

### d) Tính R (bán kính đường tròn ngoại tiếp)

Công thức tính bán kính R của tam giác là:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Đầu tiên, chúng ta cần tính diện tích S của tam giác ABC. Sử dụng công thức Heron:
\[
s = \frac{a + b + c}{2}
\]
với \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\):
\[
= \frac{2\sqrt{109} + 14 + 10}{2} = \frac{2\sqrt{109} + 24}{2} = \sqrt{109} + 12
\]
Sau đó tính diện tích S:
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\]
Áp dụng vào công thức tính R:
\[
R = \frac{10 \cdot 14 \cdot 2\sqrt{109}}{4S}
\]
Tính S từ các cạnh đã tìm Được.

### e) Tính diện tích tam giác ABC

Sử dụng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(A)
\]
Biết rằng \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[
S = \frac{1}{2} \times 10 \times 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
= 35\sqrt{3}
\]

### Kết quả

- a) \( BC = 2\sqrt{109} \)
- b) \( \cos C = \frac{17}{2\sqrt{109}} \)
- c) \( \cos B = \frac{133}{14\sqrt{109}} \)
- d) Tính \(R\) sẽ cần \(S\), có thể sử dụng kết quả trên để tìm \(R\).
- e) Diện tích \( S = 35\sqrt{3} \)

Hãy kiểm tra và tính giá trị cụ thể nếu cần!