Phương trình \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \) có nghiệm khi:

\[
x + \frac{\pi}{4} = n\pi
\]

với \( n \) là một số nguyên. Từ đó, ta có:

\[
x = n\pi - \frac{\pi}{4}
\]

Để tìm số nghiệm thuộc đoạn \([0; 2025\pi]\), ta cần xác định giá trị của \( n \) sao cho \( x \) trong đoạn này.

Ta có bất phương trình:

\[
0 \leq n\pi - \frac{\pi}{4} \leq 2025\pi
\]

Ta sẽ giải cả hai bất phương trình.

1. **Giải bất phương trình bên trái:**

\[
n\pi - \frac{\pi}{4} \geq 0 \implies n\pi \geq \frac{\pi}{4} \implies n \geq \frac{1}{4}
\]

Vì \( n \) là số nguyên, điều này có nghĩa là:

\[
n \geq 1
\]

2. **Giải bất phương trình bên phải:**

\[
n\pi - \frac{\pi}{4} \leq 2025\pi \implies n\pi \leq 2025\pi + \frac{\pi}{4}
\]

Chia cả hai bên cho \( \pi \):

\[
n \leq 2025 + \frac{1}{4}
\]

\[
n \leq 2025.25 \implies n \leq 2025
\]

Vậy \( n \) có thể nhận các giá trị nguyên từ \( 1 \) đến \( 2025 \).

Đếm số nguyên từ \( 1 \) đến \( 2025 \):

\[
2025 - 1 + 1 = 2025
\]

Vậy có **2025 nghiệm** của phương trình \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \) trong đoạn \([0; 2025\pi]\).