Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu:

### a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2):

1. **Tìm đạo hàm f'(x):**
\[
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c.
\]

2. **Xác định dấu của f'(x) trên khoảng (0; 2):**
- Để hàm số đồng biến, f'(x) phải lớn hơn hoặc bằng 0 trong khoảng này.
- Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \(3ax^2 + 2bx + c = 0\) và xét dấu của đạo hàm. Xem phương trình có nghiệm hay không và khoảng nào là dương.

### b) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\):

1. **Tính đạo hàm tại \(x = 0\):**
- Để đạt cực trị, ta yêu cầu \(f'(0) = 0\), tức là:
\[
c = 0.
\]

2. **Xét dấu của f'(x) quanh \(x = 0\):**
- Cần phải có \(f'(x) < 0\) khi \(x < 0\) và \(f'(x) > 0\) khi \(x > 0\) (điều kiện cần để có cực đại tại \(x = 0\)).

### c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 1] bằng -4:

1. **Tính giá trị f(-1), f(0), và f(1):**
- Với \(c = 0\):
\[
f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b - d,
\]
\[
f(0) = d,
\]
\[
f(1) = a + b + c + d = a + b + d.
\]

2. **So sánh các giá trị trên để tìm giá trị nhỏ nhất.**
- Ta cần kiểm tra các giá trị \(f(-1)\), \(f(0)\), và \(f(1)\) và đảm bảo rằng giá trị nhỏ nhất là -4.

### Kết luận:

- Từ các phân tích trên, ta có thể xác định các hệ số \(a, b, c, d\) dựa vào các điều kiện đã đưa ra. Sau khi tìm ra, kiểm tra lại để đảm bảo các điều kiện đều thỏa mãn.