Để tìm \( n \) trong đề bài, ta sẽ phân tích các điều kiện về chia hết.

1. Từ điều kiện đầu tiên:
\[
4n + 18 \text{ chia hết cho } n
\]
Điều này có nghĩa là \( 4n + 18 = kn \) cho một số nguyên \( k \). Ta có thể viết lại:
\[
4n + 18 - kn = 0 \quad \Rightarrow \quad (4 - k)n + 18 = 0
\]
Để phương trình này có nghiệm, \( 18 \) phải chia hết cho \( (k - 4) \) (nếu \( k \neq 4 \)).

2. Từ điều kiện thứ hai:
\[
34n + 18 \text{ chia hết cho } n + 3
\]
Chúng ta có thể viết lại điều kiện này như sau:
\[
34n + 18 = m(n + 3)
\]
cho một số nguyên \( m \). Kế tiếp, ta sẽ mở rộng và thu gọn biểu thức:
\[
34n + 18 = mn + 3m
\]
\[
(34 - m)n + (18 - 3m) = 0
\]
Để phương trình trên có nghiệm, \( 18 - 3m \) phải chia hết cho \( (m - 34) \) (nếu \( m \neq 34 \)).

### Tìm giá trị cụ thể cho \( n \)

Để đơn giản hóa, ta thử các giá trị thực tế cho \( n \):

1. Cho \( n = 1 \):
- Tính \( 4(1) + 18 = 22 \), không chia hết cho 1.

2. Cho \( n = 2 \):
- Tính \( 4(2) + 18 = 26 \), cũng không chia hết cho 2.

3. Cho \( n = 3 \):
- Tính \( 4(3) + 18 = 30 \), không chia hết cho 3.

4. Cho \( n = 6 \):
- Tính \( 4(6) + 18 = 42 \), chia hết cho 6.
- Tính \( 34(6) + 18 = 216 \), \( 6 + 3 = 9\) và \( 216 \div 9 = 24 \) (chia hết).

Như vậy, \( n = 6 \) thỏa mãn cả hai điều kiện. Vậy giá trị của \( n \) là
\[
\boxed{6}.
\]