Cho hình thang ABCD có BC // AD. Trên AC kéo dài lấy 1 điểm P tùy ý . Đường thẳng qua P và trung điểm của BC cắt AB tại M và đường thẳng qua P và trung điểm của AD cắt CD tại N. Chứng minh rằng MN // AD

Để chứng minh rằng \( MN \parallel AD \), ta sẽ sử dụng các khái niệm về tỉ lệ và tính chất của hình thang.

Gọi \( E \) là trung điểm của \( BC \) và \( F \) là trung điểm của \( AD \).

Do \( BC \parallel AD \) nên:
- \( \frac{BE}{EC} = 1 \)
- \( \frac{AF}{FD} = 1 \)

Xét đường thẳng \( PM \). Đoạn \( ME \) và \( MF \) tạo thành một tam giác với đáy là đoạn thẳng \( EF \), trong đó điểm \( E \) chia đoạn \( BC \) thành 2 phần bằng nhau, và điểm \( F \) chia đoạn \( AD \) cũng thành 2 phần bằng nhau.

Gọi \( h \) là chiều cao từ \( E \) đến đường thẳng \( AD \) và chiều cao từ \( F \) đến đường thẳng \( BC \).

Trong tam giác \( PEM \) và tam giác \( PFN \), theo định lý sự tương đồng (tương tự tam giác):
- \( \frac{PM}{PE} = \frac{MF}{FP} \)
- \( \frac{MN}{EF} \)

Do đó, vì \( PM \) và \( PN \) đều gặp tại \( P \), ta có:
- \( \frac{ME}{EF} = \frac{MN}{AD} \).

Nghĩa là tỷ lệ giữa \( MN \) và \( EF \) bằng tỷ lệ giữa các đoạn còn lại trên các đường thẳng, điều này cho thấy rằng \( MN \parallel AD \).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng \( MN \parallel AD \) như yêu cầu.

Vậy, ta đã chứng minh thành công rằng \( MN \parallel AD \).