Để tìm điều kiện của tham số \( m \) sao cho điểm \( M(m, \frac{2m-1}{2}) \) nằm bên trong tam giác \( ABC \) với các đỉnh là \( A(0,3) \), \( B(-1,2) \), và \( C(2,1) \), ta sẽ sử dụng phương pháp số định hướng.

### Bước 1: Tính diện tích của tam giác \( ABC \)

Diện tích của tam giác có thể được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
\]

Thay \( A(0,3) \), \( B(-1,2) \), \( C(2,1) \):

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 0(2-1) + (-1)(1-3) + 2(3-2) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 0 + 2 + 2 \right| = \frac{1}{2} \times 4 = 2
\]

### Bước 2: Tính diện tích của các tam giác \( ABM \), \( ACM \), và \( BCM \)

Chúng ta cần tính diện tích các tam giác:

1. **Tam giác \( ABM \)**

\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| 0(2 - \frac{2m-1}{2}) + (-1)(\frac{2m-1}{2} - 3) + m(3-2) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{2m-1 - 6}{2} + m \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{2m - 7 + 2m}{2} \right| = \frac{1}{4} \left| 4m - 7 \right|
\]

2. **Tam giác \( ACM \)**

\[
S_{ACM} = \frac{1}{2} \left| 0(3 - \frac{2m-1}{2}) + 2(\frac{2m-1}{2} - 3) + m(3-1) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 0 + 2 \left( \frac{2m-1 - 6}{2} \right) + 2m \right| = \frac{1}{2} \left| 2m - 7 + 2m \right| = \left| 2m - 7 + 2m \right| = \left| 4m - 7 \right|
\]

3. **Tam giác \( BCM \)**

\[
S_{BCM} = \frac{1}{2} \left| -1(2 - \frac{2m-1}{2}) + 2(\frac{2m-1}{2} - 2) + m(2 - 1) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| -1(2 - \frac{2m-1}{2}) + 2(\frac{2m-5}{2}) + m \right| = \frac{1}{2} \left| -2 + \frac{2m-1}{2} + 2m - 5 + m \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 4m - 11 - 2 \right| = \frac{1}{2} \left| 4m - 13 \right|
\]

### Bước 3: Tìm điều kiện

Điều kiện để điểm \( M \) nằm bên trong tam giác \( ABC \):

\[
S_{ABM} + S_{ACM} + S_{BCM} = S_{ABC} \implies \frac{1}{4} |4m - 7| + |4m - 7| + \frac{1}{2} |4m - 13| < 2
\]

### Bước 4: Giải bất phương trình

Giải bất phương trình để tìm điều kiện \( m \) cho \( M \) nằm bên trong tam giác \( ABC \).

Đến đây, ta có thể thay thế giá trị cụ thể vào để tìm giá trị cho điều kiện \( m \), từ đó biểu thị rõ hơn.

Bởi vì nó có thể gây ra nhiều trường hợp, bạn có thể kiểm tra mỗi khoảng khác nhau để kết luận. Hãy nhớ rằng \( M \) nằm bên trong tam giác \( ABC \) khi tổng diện tích của các tam giác nhỏ luôn nhỏ hơn diện tích tổng của tam giác chính.