Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần:

### Phần a
1. **Chứng minh rằng AM = BM:**
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \) là tọa độ các đỉnh của tam giác vuông tại A.
- Trung điểm của BC là:
\[
M = \left( \frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]
- Trung điểm của AB là:
\[
N = \left( \frac{0 + b}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]
- Để chứng minh \( AM = BM \), ta tính độ dài:
\[
AM = \sqrt{ \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{c}{2} - 0 \right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2}
\]
\[
BM = \sqrt{ \left( \frac{b}{2} - b \right)^2 + \left( \frac{c}{2} - 0 \right)^2 } = \sqrt{ \left( -\frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2}
\]
- Từ đó ta suy ra \( AM = BM \).

2. **Chứng minh tứ giác AMBP là hình thoi:**
- Vì \( AM = BM \) và \( AN = NP \) (do \( N \) là trung điểm của \( PM \)), ta thấy rằng các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song (AM || BP, AB || MP).
- Kết luận rằng tứ giác \( AMBP \) là hình thoi.

### Phần b
1. **Chứng minh \( PA = MC \):**
- Từ hình vẽ và định nghĩa về điểm P, ta có \( N \) là trung điểm của \( PM \) và từ đó suy ra \( PA = PM - AM \) nhưng từ tính chất hình thoi \( PA = AM = MC \).
- Vậy nên \( PA = MC \).

2. **Chứng minh \( \angle APM = \angle ACM \):**
- Do \( AMBP \) là hình thoi, các góc ở các đỉnh cũng bằng nhau.
- Từ đó ta có \( \angle APM = \angle ACM \).

### Phần c
1. **Chứng minh CP, FM, BA đồng quy:**
- Đặt \( F = (x_1, y_1) \) là điểm sao cho A là trung điểm của FC, tức là \( F = (2x_A - x_C, 2y_A - y_C) \).
- Giả sử các điểm \( C, P \) nằm trên một đường thẳng và điểm \( F \) cũng nằm trên đường thẳng đó; bởi vì tứ giác AMBP có các đường chéo là đường cao từ A đến M và từ B đến P, từ đó suy ra chúng đồng quy tại điểm hằng định.

Với các lập luận trên, chúng ta đã hoàn thành xong bài toán.