Để giải bài toán trên, ta sẽ từng bước thực hiện các nội dung đã đề cập.

### a. Tính BH và góc B

1. **Tính BH**:
- Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB = 3 cm và BC = 6 cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm}.
\]

- Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{6} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}.
\]

- Ta cũng biết rằng:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{6} = \frac{9}{6} = 1.5 \text{ cm}.
\]

2. **Tính góc B**:
- Sử dụng định nghĩa sin, cos, và tan, ta có:
\[
\tan(B) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies B = 30^\circ,
\]
hoặc
\[
\sin(B) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies B = 30^\circ.
\]

### b. Chứng minh \( BK^2 = KA \cdot KC \)

1. **Vẽ đường thẳng qua điểm B song song với AH**:
- Gọi K là giao điểm của đường thẳng này với AC. Theo định nghĩa về tính đồng dạng giữa các tam giác, điểm K tạo thành các góc bằng nhau với góc A và B.

2. **Áp dụng định lý về độ dài trong tam giác**:
- Ta có:
\[
\triangle ABK \sim \triangle AHC,
\]
từ đó ta có:
\[
\frac{BK}{AC} = \frac{AH}{AB} \quad \text{ và } \quad \frac{KA}{KC} = \frac{AB}{BC}.
\]

3. Chứng minh:
- Theo hệ quả của định lý Thales, ta có:
\[
BK^2 = KA \cdot KC.
\]

### c. Chứng minh ΔBMH có ΔBCK và tính tỉ số diện tích

1. **Vẽ AM = BK tại M**:
- Theo giả định rồi, ta có BK = AM, và vì BK là đường thẳng song song với AH nên tứ giác BAKM là hình bình hành.

2. **Chứng minh ΔBMH có ΔBCK**:
- Ta có:
\[
\triangle BMH \sim \triangle BCK,
\]
do 2 tam giác này có góc B chung và góc M = góc K (do AM || AH).

3. **Diện tích của hai tam giác**:
- Diện tích theo công thức:
\[
S_{\triangle BMH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AM \cdot \sin M,
\]
và
\[
S_{\triangle BCK} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot BK \cdot \sin K.
\]

4. **Tính tỉ số diện tích**:
\[
\frac{S_{\triangle BMH}}{S_{\triangle BCK}} = \frac{AM}{BK} \cdot \frac{\sin M}{\sin K} = \frac{BK}{BK} \cdot \frac{\sin K}{\sin K} = 1.
\]

Cuối cùng, do \(BK = AM\) và \(BK\) song song với \(AH\), chúng ta có:
\[
\frac{S_{\triangle BMH}}{S_{\triangle BCK}} = \sin^2 K \cdot \sin^2 C.
\]
Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.