Cho △ABC vuông tại A, E là trung điểm của BC. Kẻ EN ⊥ AB tại N, EM ⊥ AC tại M. Chứng minh tứ giác ANEM là hình chữ nhật

### Bài 1:

#### a. Chứng minh tứ giác ANEM là hình chữ nhật.

Để chứng minh tứ giác ANEM là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng các cạnh AN và EM vuông góc với nhau, cũng như các cạnh AE và NM vuông góc với nhau.

- **Tính vuông góc của AN và EM:**
- Do EM ⊥ AC, nên góc AEM là góc vuông.
- Do EN ⊥ AB, nên góc AEN cũng là góc vuông.
- Vậy, tứ giác ANEM có góc AEN và AEM vuông. Do đó, AN ⊥ EM.

- **Tính vuông góc của AE và NM:**
- AE là đường nối từ A đến trung điểm E của BC.
- Nằm bên cạnh, EM vươn từ M (trên AC) đến E. Bởi vì NM nằm trên AC, MN phải song song với BC (vì BC ⊥ AC).
- Do đó, AE ⊥ NM.

Như vậy, ANEM là hình chữ nhật vì nó có 2 cặp cạnh vuông góc.

#### b. Chứng minh tứ giác ABCF là hình bình hành.

Giả sử M là trung điểm của BF, suy ra BM = MF.

- Ta cũng đã chứng minh rằng AE || BC (vì BE = EC = bình phương)
- Xét tam giác BME, BM là trung đoạn, suy ra E là trung điểm của BF.
- Vì AF || BC (AE = BC và có cùng chiều dài).

=> Ta có

AB = AE
BC = CF
BM = MF

=> Tứ giác ABCF là một hình bình hành.

#### c. Chứng minh tứ giác AECD là hình thoi.

Để chứng minh tứ giác AECD là hình thoi, ta cần chứng minh rằng bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau.

- Ta có AD = CE (đã cho)
- Vì C là trung điểm của AB, AE = AC.
- CE = CE

=> Nên tứ giác AECD là hình thoi.

#### d. Chứng minh IN ⊥ BM.

- Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, IN hạ từ điểm I xuống BM (tức là đường vuông góc từ I đến BM)
- Căn cứ điểm C cũng nằm trong hình vuông ACN, IN ⊥ BM, cung cấp cách xác nhận bằng tính chất vuông góc của các cạnh.

### Bài 2:

#### a) Chứng minh △ABI = △CDI và suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

- Đại diện từ A đến B và C đến D có thể khẳng định rằng AB || CD do tính chất của các đoạn thẳng song song.
- Vì I là trung điểm AC, AB = CD, từ đó dẫn đến hai tam giác này có chiều dài bằng nhau và là một phần của tứ giác ABCD.

#### b) Chứng minh AK = IH.

- Đường thẳng IK song song với AB chỉ ra rằng cùng chiều dài từ các góc A và K.
- Do đó, thiết lập chiều dài AK = IH.

#### c) Chứng minh ba điểm H, G, C thẳng hàng.

- Từ điểm G trên BD, cả đoạn thẳng H với GC song song xác nhận rằng H nằm trên một đường thẳng với C.

### Bài 3:

#### a) Chứng minh: Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

- HM vuông góc AB chứng tỏ rằng AM || HN với hai cạnh vuông.
- Tương tự, HN vuông góc AC, AM cũng vuông góc HN.

=> Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

#### b) Tứ giác AMNI là hình gì? Vì sao?

- Nếu N là trung điểm của HI, AM và IN vuông góc liên kết dòng và điểm thuộc nhau.
- Do đó tứ giác AMNI có có cạnh đối song song và bằng nhau.

=> Tứ giác AMNI là hình chữ nhật.

Nếu bạn cần thêm thông tin hay giải thích chi tiết về bất kỳ phần nào, hãy cho tôi biết!