Để làm bài toán, chúng ta sẽ giải từng phần một.

### b) Đặt \( P = \frac{B}{A} \) và rút gọn \( P \).

Đầu tiên, chúng ta có:

\[
A = \frac{2}{\sqrt{x} - 2}
\]

\[
B = \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x}}
\]

Rút gọn \( B \):

\[
B = \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 2)} + \frac{3}{\sqrt{x}}
\]

\[
= \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{3}{\sqrt{x}}
\]

Giờ hãy tìm mẫu chung:

Mẫu chung giữa \( \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \) và \( \frac{3}{\sqrt{x}} \) là:

\[
\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)
\]

Vì vậy, chúng ta có:

\[
B = \frac{\sqrt{x} + 3(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}
= \frac{\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}
= \frac{4\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính \( P \):

\[
P = \frac{B}{A} = \frac{\frac{4\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}}{\frac{2}{\sqrt{x} - 2}}
= \frac{(4\sqrt{x} - 6) \cdot (\sqrt{x} - 2)}{2\sqrt{x}}
\]

Rút gọn:

\[
P = \frac{4\sqrt{x} - 6}{2\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x} - 2) = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x} - 2)
\]

### c) Tìm \( x \) để \( P = -\sqrt{x} \).

Đặt \( P = -\sqrt{x} \):

\[
\frac{(2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}} = -\sqrt{x}
\]

Tương đương:

\[
(2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2) = -x
\]

Phát triển biểu thức:

\[
2x - 4\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 6 = -x
\]

\[
3x - 7\sqrt{x} + 6 = 0
\]

Đặt \( y = \sqrt{x} \):

\[
3y^2 - 7y + 6 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 - 72 = -23
\]

Phương trình không có nghiệm thực.

### e) Tìm \( x \) để \( P > \frac{1}{2} \).

Đặt \( P > \frac{1}{2} \):

\[
\frac{(2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}} > \frac{1}{2}
\]

Khi đó, nhân ba vế với \( 2\sqrt{x} \) (giả sử \( \sqrt{x} > 0 \)):

\[
2(2\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2) > \sqrt{x}
\]

Phát triển và đưa về dạng:

\[
4\sqrt{x}^2 - 4\cdot 2\sqrt{x} + 6 > 0
\]

Giải bất phương trình trên. Tương tự như phương trình ở trên, bạn có thể tìm nghiệm bằng cách sử dụng quy tắc nghiệm của phương trình bậc hai.

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán!