Để giải phương trình \( x^{2} - xy + x - 3y = 1 \), ta bắt đầu bằng cách sắp xếp lại phương trình:

\[
x^{2} - xy + x - 3y - 1 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( x \):

\[
x^{2} + (1 - y)x + (-3y - 1) = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
x = \frac{{-(1 - y) \pm \sqrt{{(1 - y)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3y - 1)}}}}{2 \cdot 1}
\]

Tính biệt thức \( D \):

\[
D = (1 - y)^{2} + 4(3y + 1) = (1 - y)^{2} + 12y + 4
\]

\[
D = (1 - 2y + y^{2}) + 12y + 4 = y^{2} + 10y + 5
\]

Để \( x \) có giá trị nguyên, \( D \) phải là một số chính phương. Ta cần tìm các giá trị của \( y \) sao cho \( y^{2} + 10y + 5 = k^2 \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

Giải bất phương trình \( y^{2} + 10y + (5 - k^2) = 0 \) với \( D' = 10^{2} - 4(1)(5 - k^2) = 100 - 20 + 4k^{2} = 80 + 4k^{2} \) cũng phải là số chính phương.

Giả sử \( D' = m^2 \) (với \( m \in \mathbb{Z} \)):

\[
4k^{2} + 80 = m^{2} \implies m^2 - 4k^{2} = 80
\]

Phương trình này có dạng:

\[
(m - 2k)(m + 2k) = 80
\]

Với \( m - 2k = d \) và \( m + 2k = \frac{80}{d} \), ta có hệ:

\[
m = \frac{d + \frac{80}{d}}{2}, \quad k = \frac{\frac{80}{d} - d}{4}
\]

Tìm các ước của 80: \( (1, 80), (2, 40), (4, 20), (5, 16), (8, 10) \). Từ đó, ta có thể tính và tìm các giá trị nguyên của \( y \).

Cuối cùng, từ các giá trị của \( y \), ta tính giá trị của \( x \) bằng cách quay lại phương trình bậc hai đã phát biểu ở trên.

Tiến hành kiểm tra từng giá trị cụ thể cho \( y \) sẽ cho các nghiệm nguyên tương ứng với \( x \).

Bạn có thể thử cụ thể từng giá trị \( y \) từ -10 đến 10 và tính giá trị tương ứng của \( x \) để tìm các nghiệm.