Cho △ABC vuông tại A. Đường cao AH. Kẻ HM ⊥ AB tại M, HN ⊥ AC tại N

Để giải bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

**a)** Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

Để chứng minh AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng cả bốn góc của tứ giác này đều bằng 90 độ:

1. **Góc AMH**: Vì HM ⊥ AB (theo giả thiết), nên góc AMH = 90°.

2. **Góc ANH**: Vì HN ⊥ AC (theo giả thiết), nên góc ANH = 90°.

3. **Góc AMN**: Theo định nghĩa, M là giao điểm của đường thẳng HM với AB, và N là giao điểm của đường thẳng HN với AC. Do AC là đường thẳng vuông góc với AB tại A (vì △ABC vuông tại A), nên ta có góc AMN cũng bằng 90°.

4. **Góc MNH**: Tương tự, vì HN ⊥ AC, nên đoạn thẳng MN cũng vuông góc với AH, hay nói cách khác MN vuông góc với AH tại N. Bởi vậy, góc NHM cũng bằng 90°.

Khi đã có đủ bốn góc của tứ giác AMHN đều bằng 90 độ, ta có thể kết luận rằng tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

**b)** Với điểm I sao cho N là trung điểm của HI, tứ giác AMNI là hình gì?

Vì N là trung điểm của HI, ta có \(NI = NH\).

Trong tứ giác AMNI:

- **AM** là một cạnh (đoạn thẳng).
- **NI** là một cạnh (với N là trung điểm của HI).
- **MN** và **AN** vẫn tạo thành các góc vuông tương tự như trong trường hợp của tứ giác AMHN.

Theo phương pháp phân tích và biểu diễn hình học, chúng ta có:

- **AN = MH** (do AMHN là hình chữ nhật)
- **NI** = **NH** (vì N là trung điểm của HI)
- **MH** = **NI** do cùng dài theo lý thuyết hình chữ nhật và việc kẻ vuông góc.

Cuối cùng, dựa trên dạng tứ giác AMNI, có thể kết luận:

Tứ giác AMNI cũng là hình chữ nhật. Vì:

1. Các cạnh đối diện bằng nhau (AM = NI và AN = MH).
2. Các góc tại N và A vẫn là 90 độ.

Vậy tứ giác AMNI là hình chữ nhật.