Để chứng minh vectơ \( \vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD} \) cho hình bình hành \( ABCD \), ta có thể thực hiện như sau:

1. **Gọi các điểm:**
- Gọi \( A, B, C, D \) lần lượt là các đỉnh của hình bình hành, với \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \) là các tọa độ của các đỉnh.
- Gọi \( M \) là một điểm bất kỳ trong không gian.

2. **Thay thế các vectơ:**
- Ta có:
\[
\vec{MA} = \vec{A} - \vec{M}, \quad \vec{MB} = \vec{B} - \vec{M}, \quad \vec{MC} = \vec{C} - \vec{M}, \quad \vec{MD} = \vec{D} - \vec{M}
\]

3. **Thay vào biểu thức:**
- Thay các vectơ vào biểu thức cần chứng minh:
\[
\vec{MA} + \vec{MC} = (\vec{A} - \vec{M}) + (\vec{C} - \vec{M}) = \vec{A} + \vec{C} - 2\vec{M}
\]
\[
\vec{MB} + \vec{MD} = (\vec{B} - \vec{M}) + (\vec{D} - \vec{M}) = \vec{B} + \vec{D} - 2\vec{M}
\]

4. **Sử dụng tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành, ta có:
\[
\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}
\]
- Do đó, thay vào trên ta có:
\[
\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{B} + \vec{D} - 2\vec{M} = \vec{MB} + \vec{MD}
\]

5. **Kết luận:**
- Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}
\]

Điều này hoàn tất bài chứng minh cho vectơ trong hình bình hành.