Để chứng minh rằng nếu số tự nhiên \( n \) chia cho 11 dư 4 thì \( n^2 \) chia cho 11 dư 5, ta thực hiện như sau:

1. Ta biết rằng \( n \equiv 4 \mod 11 \), nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[
n = 11k + 4
\]

2. Tính \( n^2 \):
\[
n^2 = (11k + 4)^2 = 121k^2 + 88k + 16
\]

3. Ta chỉ cần tìm \( n^2 \mod 11 \):
- \( 121k^2 \mod 11 \equiv 0 \mod 11 \) (vì 121 là bội của 11)
- \( 88k \mod 11 \equiv 0 \mod 11 \) (vì 88 là bội của 11)
- \( 16 \mod 11 \equiv 5 \)

4. Kết hợp lại:
\[
n^2 \equiv 0 + 0 + 5 \equiv 5 \mod 11
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng nếu \( n \equiv 4 \mod 11 \) thì \( n^2 \equiv 5 \mod 11 \).