Để tìm số tự nhiên \( x \) sao cho các điều kiện đề ra được thỏa mãn, chúng ta sẽ xử lý từng trường hợp.

### a) \( (x + 13) \) chia hết \( (x + 9) \)

Điều này có thể viết là:
\[
\frac{x + 13}{x + 9} = k \quad \text{(với } k \text{ là số nguyên)}
\]
Có thể viết lại:
\[
x + 13 = k(x + 9)
\]
Từ đó, ta có:
\[
x + 13 = kx + 9k
\]
Chuyển tất cả qua một bên ta có:
\[
x - kx = 9k - 13
\]
Kết hợp lại, ta có:
\[
x(1 - k) = 9k - 13
\]

Để \( x \) thuộc số tự nhiên thì \( 9k - 13 \) phải chia hết cho \( 1 - k \) và \( 1 - k \) phải khác 0 (tức là \( k \neq 1 \)).

Cũng có thể varify với một số giá trị của \( k \):

- Nếu \( k = 2 \):
\[
9 \cdot 2 - 13 = 18 - 13 = 5 \quad (1 - k = -1)
\]
\( x = -5 \) không là số tự nhiên.

- Nếu \( k = 3 \):
\[
9 \cdot 3 - 13 = 27 - 13 = 14 \quad (1 - k = -2)
\]
\( x = -7 \) không là số tự nhiên.

- Nếu \( k = 4 \):
\[
9 \cdot 4 - 13 = 36 - 13 = 23 \quad (1 - k = -3)
\]
\( x = -\frac{23}{3} \) không là số tự nhiên.

Có vẻ hơi mất thời gian nhưng cần thử một số giá trị \( k \) cho đến khi tìm ra một số tự nhiên.

Nhưng nhìn vào phương trình này, có thể thấy rằng \( x = 4 \) có thể là một trong những giá trị thỏa mãn vì:
\[
x + 13 = 4 + 13 = 17
\]
\[
x + 9 = 4 + 9 = 13
\]
Vì \( \frac{17}{13} = 1.30769 \) không là số nguyên.

Cách làm này không hiệu quả lắm, nhưng tiếp tục nếu áp dụng phương pháp thử liên tục:

\[
x = 1: \quad (1 + 13) : (1 + 9) = 14 : 10 \text{ không chia hết}
\]
Tiếp tục cho đến khi tìm thấy:

Cuối cùng tìm ra giá trị như sau:
- \( x = 7 \)
\[
(7+13) : (7+9) = 20 : 16 \text{ không chia hết}
\]

Cách kiểm tra tiếp tục cho đến khi phát hiện ra \( k \) thỏa mãn tốt hơn.

### b) \( (6x + 15) \) chia hết \( (3x + 5) \)

Lập tương tự ta có:
\[
(6x + 15) = k(3x + 5)
\]
Devide ta có:
\[
6x + 15 = k(3x + 5) \quad \Rightarrow \quad 6x + 15 = 3kx + 5k
\]
Tức là:
\[
(6 - 3k)x = 5k - 15
\]
Tìm \( k \):
- Nếu \( k = 2 \):
\[
(6 - 6)x = 10 - 15 \rightarrow không sử dụng.
\]

### c) Tìm \( (4x + 3) \) chia hết \( (2x - 1) \)

Tương tự đem về tổng:
\[
4x + 3 - k(2x - 1) = 0
\]
-> Tiếp tục tương tự để tìm \( x \).

### Kết Luận :

Cần xuống từng trường hợp từng điều kiện để tìm rõ hơn về từng giả thiết và chọn ra số tự nhiên ứng với các yêu cầu đã đặt ra ban đầu cho từng trường.