Cho hình vuông ABCD có cạnh a. M là một điểm trên đường thẳng BC(M khác B và C).Vẽ hình vuông AMEN. Tia AM cắt DC tại Q, tia NA cắt CB tại P. Gọi I là trung điểm của PQ

Để chứng minh rằng ba điểm \( N, D, C \) thẳng hàng và tam giác \( APQ \) là tam giác vuông cân, ta sẽ bắt đầu với các dữ liệu đã cho và các thuộc tính của hình vuông. Giả sử \( A \) ở tọa độ \( (0, a) \), \( B \) ở \( (0, 0) \), \( C \) ở \( (a, 0) \), và \( D \) ở \( (a, a) \).

### Bước 1: Chứng minh ba điểm N, D, C thẳng hàng

- Gọi \( M \) là một điểm trên đường thẳng \( BC \), tức là tọa độ của \( M \) có dạng \( (x_M, 0) \) với \( 0 < x_M < a \).
- Hình vuông \( AMEN \) được vẽ sao cho \( N \) nằm trên đoạn thẳng \( AD \) và \( E \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \).
- Tọa độ các điểm sẽ là:
- \( A(0, a) \)
- \( M(x_M, 0) \)
- \( E(0, 0) \) do cạnh \( AB \) là vuông góc với \( AM \).
- \( N = (x_M, a) \)

Để chứng minh các điểm này thẳng hàng, ta cần cho thấy rằng \( N, D, C \) nằm trên cùng một đường thẳng. Ta sẽ xét độ dốc của đoạn thẳng \( DC \) và đoạn thẳng \( NC \).

Độ dốc đoạn thẳng \( DC \):
\[
\text{Độ dốc } DC = \frac{0 - a}{a - x_M} = \frac{-a}{a - x_M}
\]

Độ dốc đoạn thẳng \( NC \):
\[
\text{Độ dốc } NC = \frac{0 - a}{a - x_M} = \frac{-a}{a - x_M}
\]

Do vậy, vì \( N, D, C \) có cùng độ dốc, ta có thể kết luận rằng ba điểm này thẳng hàng.

### Bước 2: Chứng minh tam giác APQ vuông cân

1. Chúng ta đã có \( N \) và \( M \) với một số tọa độ như trên.
2. Xét hai đoạn \( AP \) và \( AQ \):
- \( P \) là giao điểm của tia \( NA \) với \( CB\).
- \( Q \) là giao điểm của tia \( AM\) với \( DC\).

Vì \( D \) là một điểm thuộc \( DC \) và \( C \) là một điểm thuộc \( CB \):
- Tia \( NA \) và tia \( AM \) tạo thành tia vuông góc tại nút \( A \) do tính chất hình vuông, do đó:
\[
\angle PAQ = 90^\circ
\]

3. Từ đó chúng ta thấy rằng:
\[
AP = AQ
\]
Dẫn đến tam giác \( APQ \) là tam giác vuông cân theo định nghĩa.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng ba điểm \( N, D, C \) thẳng hàng và tam giác \( APQ \) là tam giác vuông cân. Nếu có phần nào tiếp theo của bài toán với điểm \( O \), bạn có thể cung cấp thêm thông tin để chúng tôi tiếp tục.