Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Cho biết \( AB = 3 \) cm, \( AC = 4 \) cm. Tính độ dài \( HB \).

1. **Tính cạnh \( BC \)** trong tam giác vuông \( ABC \):
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài \( AH \)** (đường cao ứng với cạnh huyền \( BC \)):
- Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể tính bằng hai công thức:
- Công thức 1 (đối với hai cạnh \( AB \) và \( AC \)):
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]
- Công thức 2 (đối với cạnh huyền \( BC \) và đường cao \( AH \)):
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
- Từ đó, ta có:
\[
6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH \implies 6 = \frac{5}{2} AH \implies AH = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài \( HB \)**:
- Sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn trong tam giác vuông:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{HB}{AH} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{HB}{2.4}
\]
- Tính \( HB \):
\[
HB = \frac{3}{4} \times 2.4 = \frac{3 \times 2.4}{4} = \frac{7.2}{4} = 1.8 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \).

1. **Tính \( AE \) và \( AF \)**:
- Ở đây, ta sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn:
\[
AE = \frac{AB \cdot AH}{BC} \quad \text{và} \quad AF = \frac{AC \cdot AH}{BC}
\]

2. **Chứng minh**:
- Từ điều kiện trên:
\[
AE \cdot AB = \frac{AB \cdot AH}{BC} \cdot AB = \frac{AB^2 \cdot AH}{BC}
\]
- Tương tự cho \( AF \):
\[
AF \cdot AC = \frac{AC \cdot AH}{BC} \cdot AC = \frac{AC^2 \cdot AH}{BC}
\]

3. **So sánh**:
- Ta đã có \( \frac{AB^2 \cdot AH}{BC} \) và \( \frac{AC^2 \cdot AH}{BC} \).
- Vì \( AB \) và \( AC \) là các cạnh của tam giác vuông \( ABC \),
- Do đó, ta có thể khẳng định rằng:
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

### Kết luận:
- Độ dài \( HB = 1.8 \) cm và \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \).