Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các phần yêu cầu:

### a) Tính \( AH \) và \( CH \):
1. **Tính độ dài \( BC \)**: Bằng định lý Pytago trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính \( AH \) và \( CH \)**:
- Đường tròn \( (O) \) có đường kính \( AB \), do đó \( H \) là giao điểm của đường tròn với \( BC \).
- Theo định lý đường kính, góc \( AHB \) vuông.
- Áp dụng định lý chia phần đoạn:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]
- Ta có:
\[
CH = BC - AH = 10 - 4.8 = 5.2 \text{ cm}
\]

### b) Kẻ \( OK \perp AH \) tại \( K \), tia \( OK \) cắt \( AC \) tại \( D \). Chứng minh rằng \( DH \perp OH \):
1. **Gọi \( O \)** là trung điểm của \( AB \). Do đó,
\[
O \left( \frac{6}{2}, 0 \right) = (3, 0)
\]

2. **Tính tọa độ \( H \)**: Do hai đoạn \( AH \) và \( CH \) được tính phía trên, biết \( A(0,0) \), \( B(6,0) \) và \( C(0,8) \):
- Thay tọa độ \( B \) và \( C \) vào phương trình đường thẳng \( BC \) để tìm tọa độ giao điểm \( H \).

3. **Chứng minh \( DH \perp OH \)**:
- Tìm phương trình các đường thẳng \( DH \) và \( OH \).
- Chứng minh rằng tích số nghiệm của hai hệ số góc của các đường thẳng này bằng -1.

Sau khi thực hiện các bước trên, bạn sẽ hoàn thành bài toán. Nếu cần giúp thêm chi tiết nào, hãy cho mình biết!