Để chứng minh rằng \( BK = 2CE \), ta có thể sử dụng một số kết quả về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác và tính chất của đường phân giác.

1. **Xác định tỉ lệ đoạn thẳng:**
Trong tam giác \( ABC \), do tuyến đường phân giác \( AD \) chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh \( AB \) và \( AC \):
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.
\]
Ta biết \( AB < AC \), nên \( \frac{BD}{DC} < 1 \).

2. **Xác định điểm \( I \):**
Từ điều kiện \( BI = 2IC \), ta có thể đặt \( IC = x \) thì \( BI = 2x \) và \( BC = BI + IC = 2x + x = 3x \).

Khi đó, ta có:
\[
\frac{BI}{IC} = \frac{2x}{x} = 2.
\]

Từ đó, dựa vào tỉ lệ \( \frac{BD}{DC} \), chỉ ra rằng \( I \) nằm giữa \( B \) và \( C \) với tỉ lệ \( 2:1 \).

3. **Sử dụng tính chất đường thẳng song song:**
Đường thẳng qua \( I \) và song song với đường phân giác \( AD \) sẽ tạo ra hai đoạn thẳng \( CE \) và \( BK \) trên lần lượt các cạnh \( AC \) và \( AB \).

4. **Áp dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng:**
Vì đường thẳng kéo dài từ \( I \) đến \( E \) và \( K \) song song với \( AD \), nên
\[
\frac{BK}{CE} = \frac{BI}{IC} = 2.
\]

Điều này dẫn đến việc:
\[
BK = 2 \cdot CE.
\]

5. **Kết luận:**
Ta đã chứng minh rằng \( BK = 2CE \).

Vậy chứng minh đã hoàn tất.