Cho tam giác ABC nhọn (AB

Để chứng minh rằng tứ giác \( BIKC \) là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh bây giờ, \( BI \) và \( KC \) là song song và có cùng độ dài.

**Bước 1: Chứng minh rằng \( BI \) // \( KC \)**

1. \( BE \) và \( CF \) là hai đường cao của tam giác \( ABC \). Do đó, \( BE \) vuông góc với \( AC \) và \( CF \) vuông góc với \( AB \).

2. Từ điểm \( B \), ta kẻ một đường thẳng vuông góc với \( AB \) và từ điểm \( C \), ta kẻ một đường thẳng vuông góc với \( AC \). Gọi điểm giao nhau của hai đường thẳng này là \( K \).

3. Từ định nghĩa, \( HK \) vuông góc với \( BC \), do đó \( H \) chính là hình chiếu của điểm \( K \) lên \( BC \).

4. Vì \( I \) là điểm trên tia đối của \( GH \) sao cho \( HG = IG \), ta có thể thấy rằng \( H \) nằm giữa \( G \) và \( I \). Điều này có nghĩa là \( IG = HG \) và \( GK \) cũng vuông góc với \( BC \).

5. Do đó, \( BI \) và \( KC \) đều vuông góc với \( BC \) và \( BI \parallel KC \).

**Bước 2: Chứng minh rằng \( BI = KC \)**

1. Do \( HG = IG \), \( I \) nằm trên tia đối của \( GH \), có nghĩa là \( BI \) là đoạn thẳng từ \( B \) đến điểm \( I \) là hình chiếu thẳng đứng của \( K \) trên \( BC \).

2. Bởi vì \( K \) là hình chiếu của \( B \) lên đường thẳng \( AC \) và \( I \) là hình chiếu của \( C \) lên đường thẳng \( AB \), ta sẽ có:

\[
BI = HK \text{ và } KC = HK
\]

Do đó, \( BI = KC \).

**Kết luận:**
Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BIKC \) là hình thang cân với \( BI // KC \) và \( BI = KC \).