Để giải bài toán này, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( F(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-2x} \) và so sánh với hàm số \( f(x) = - (2x^2 - 8x + 7)e^{-2x} \).

**Bước 1:** Tính đạo hàm của \( F(x) \) bằng công thức đạo hàm của tích hai hàm. Ta có:

\[
F'(x) = \frac{d}{dx}[(ax^2 + bx + c)e^{-2x}]
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:

\[
F'(x) = (ax^2 + bx + c) \frac{d}{dx}(e^{-2x}) + e^{-2x} \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c)
\]

\[
= (ax^2 + bx + c)(-2e^{-2x}) + e^{-2x}(2ax + b)
\]

\[
= -2(ax^2 + bx + c)e^{-2x} + (2ax + b)e^{-2x}
\]

\[
= e^{-2x} \left( -2(ax^2 + bx + c) + (2ax + b) \right)
\]

**Bước 2:** Rút gọn biểu thức:

\[
-2(ax^2 + bx + c) + (2ax + b) = -2ax^2 - 2bx - 2c + 2ax + b
\]

\[
= -2ax^2 + (2a - 2b)x + (b - 2c)
\]

Vậy ta có:

\[
F'(x) = e^{-2x} (-2ax^2 + (2a - 2b)x + (b - 2c))
\]

**Bước 3:** So sánh với hàm số \( f(x) \):

\[
f(x) = - (2x^2 - 8x + 7)e^{-2x} = e^{-2x}(-2x^2 + 8x - 7)
\]

Do đó, so sánh các hệ số với \( -2ax^2 + (2a - 2b)x + (b - 2c) \):

1. Hệ số của \( x^2 \): \( -2a = -2 \) => \( a = 1 \)
2. Hệ số của \( x^1 \): \( 2a - 2b = 8 \)
- Thay \( a = 1 \) vào: \( 2(1) - 2b = 8 \) => \( 2 - 2b = 8 \) => \( -2b = 6 \) => \( b = -3 \)
3. Hệ số tự do: \( b - 2c = -7 \)
- Thay \( b = -3 \): \( -3 - 2c = -7 \) => \( -2c = -4 \) => \( c = 2 \)

**Bước 4:** Tính tổng \( a + b + c \):

\[
a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0
\]

Vậy tổng \( a + b + c = 0 \).