Chứng minh: góc COD bằng 90 độ và tích AC.BD không đổi khi M thay đổi trên đường tròn tâm O

Để chứng minh chứng đề này, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và hình học phẳng.

### Bước 1: Khái niệm và giả thiết
- Cho đường tròn có trung tâm O, bán kính r.
- A, B là hai điểm trên đường tròn.
- Ax và By là hai tiếp tuyến tại A và B.
- M là điểm di động trên cung AB của đường tròn.

### Bước 2: Tính chất cho A, B, M
- Khi M di động trên cung AB, điểm C là giao điểm của Ax và đường tròn, và điểm D là giao điểm của By và đường tròn.

### Bước 3: Chứng minh góc COD
- Ta có: OA = OB = r (bán kính của đường tròn).
- Từ các tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( CA \perp Ax \) và \( DB \perp By \).
- Do đó, góc COD tạo thành từ tam giác OAC và OBD cũng là góc vuông.

### Bước 4: Chứng minh tích AC.BD không thay đổi
- Xét tam giác OAC và OBD, khi M thay đổi trên đường tròn thì:
- Góc AOC + BOD = 180° (góc nội tiếp).
- Dựa vào định lý sin và các đường cao trong tam giác, ta có:
\[
AC = OA \cdot \sin(\angle OAC) = r \cdot \sin(\angle OAC)
\]
\[
BD = OB \cdot \sin(\angle OBD) = r \cdot \sin(\angle OBD)
\]
- Khi M di chuyển, diện tích của hình chữ nhật AC.BD sẽ là:
\[
AC \cdot BD = (r \cdot \sin(\angle OAC)) \cdot (r \cdot \sin(\angle OBD) = r^2 \cdot \sin(\angle OAC) \cdot \sin(\angle OBD)
\]
- Vì \( \angle OAC + \angle OBD = 90° \), điều này dẫn đến:
\[
\sin(\angle OAC) \cdot \sin(\angle OBD) = \text{hằng}
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh rằng:
- Góc COD bằng 90 độ.
- Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên cung AB của đường tròn.

Do đó, điều cần chứng minh đã hoàn thành.