Cho △ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của BC còn N, M lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I xuống CA, AB. Chứng minh tứ giác AMIN là một hình chữ nhật. Chứng minh hai tam giác vuông CNI và IMB bằng nhau. Từ đó suy ra M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. Lấy điểm D sao cho N là trung điểm của ID, chứng minh tứ giác ADCI là một hình thoi

Để chứng minh các nội dung của đề bài về tứ giác AMIN, tam giác CNI và IMB, và tứ giác ADCI, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AMIN là một hình chữ nhật.
- Ta biết I là trung điểm của BC, N là chân đường vuông góc từ I xuống CA, M là chân đường vuông góc từ I xuống AB.
- Đầu tiên, ta có \(IM \perp AB\) và \(IN \perp AC\) do M và N là chân đường vuông góc.
- \(\angle AMI = 90^\circ\) và \(\angle ANI = 90^\circ\).
- Do đó, cả hai cặp cạnh AM và IN, AN và IM đều vuông góc với nhau.
- Vậy \(tứ giác AMIN\) có hai cạnh đối diện vuông góc với nhau, nên nó là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh hai tam giác vuông CNI và IMB bằng nhau và từ đó suy ra M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC.
- Xét hai tam giác CNI và IMB:
- Tam giác CNI có cạnh CN và NI.
- Tam giác IMB có cạnh IM và MB.

- Chứng minh rằng:
- **Cạnh CN = Cạnh IM**:
- Cạnh CN = CI (do I là trung điểm của BC) = IM (cạnh này cũng giống CI vì I là trung điểm của BC và AN = AM).
- **Cạnh NI = Cạnh MB**:
- Tương tự, NI được xem như chiều cao của I xuống CA và MB là chiều cao từ I xuống AB.

- Dựa trên góc vuông ở N và M (góc CNI và IMB), ta có:
- \(\angle CNI = \angle IMB = 90^\circ\)

- Từ đó, ta có cặp cạnh tương ứng và cặp góc vuông đều giống nhau, suy ra \(\triangle CNI \cong \triangle IMB\).

- Kết luận:
- \(MB = MA = \frac{1}{2} AB\) và \(NC = NI = \frac{1}{2} AC\).
- Do đó, M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC.

### c) Chứng minh tứ giác ADCI là một hình thoi.
- Lấy điểm D sao cho N là trung điểm của ID. Theo đề bài, ta có D và I là hai điểm.
- Kích thước:
- \(|ID| = |NC|\) (Bởi N là điểm trung bình của ID).

- Xét vector:
- \(AD = D - A\)
- \(CI = I - C\)

- Tứ giác ADCI:
- \(AD = DC\) và \(AI = CI\) do I là trung điểm của BC.

- Do đó, chiều dài AD bằng chiều dài DC và chiều dài AI bằng CI đồng thời các góc \(\angle AID\) và \(\angle CID\) bằng nhau (các góc đối của tứ giác).

- Kết luận: Tứ giác ADCI có hai cặp cạnh đối bằng nhau và các góc đối bằng nhau, nên ADCI là một hình thoi.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng:
- Tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
- Hai tam giác CNI và IMB bằng nhau.
- M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC.
- Tứ giác ADCI là một hình thoi.