Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( 3p + 5 \) chia hết cho \( p - 1 \), ta xét điều kiện:

\[
3p + 5 \equiv 0 \pmod{p-1}
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
3p + 5 \equiv 0 \mod (p - 1)
\]

Ta có thể biến đổi điều này thành:

\[
3p + 5 = k(p - 1) \quad \text{(với k là một số nguyên)}
\]

Giải phương trình này theo \( k \) ta có:

\[
3p + 5 = kp - k
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
3p - kp + k + 5 = 0
\]

\[
p(3 - k) = -k - 5
\]

Do \( p \) là số nguyên tố, \( 3 - k \) phải khác 0, từ đó ta tìm điều kiện cho \( k \):

\[
p = \frac{-k - 5}{3 - k}
\]

Vì \( p \) là số nguyên dương, \( -k - 5 \) và \( 3 - k \) phải cùng dấu. Xét một số giá trị nguyên cho \( k \):

1. Nếu \( k = 2 \):
\[
p = \frac{-2 - 5}{3 - 2} = \frac{-7}{1} = -7 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

2. Nếu \( k = 3 \):
\[
p = \frac{-3 - 5}{3 - 3} \quad \text{(không xác định)}
\]

3. Nếu \( k = 1 \):
\[
p = \frac{-1 - 5}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3 \quad \text{(không phải số nguyên tố)}
\]

4. Nếu \( k = 0 \):
\[
p = \frac{-0 - 5}{3 - 0} = \frac{-5}{3} \quad \text{(không là số nguyên)}
\]

Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị lớn hơn của \( k \).

Nhưng cách tiếp cận khác đơn giản hơn là:

\[
3p + 5 \equiv 0 \pmod{p-1}
\]

Sử dụng quy tắc chia hết, ta cần tìm \( x \) sao cho:

\[
x = 3p + 5
\]
\[
p - 1 \mid 3p + 5
\]

Giả sử \( p = 5 \):

\[
3(5) + 5 = 15 + 5 = 20
\]
\[
p - 1 = 4
\]
\[
20 \div 4 = 5 \quad \text{(chia hết)}
\]

Vậy \( p = 5 \) là một nghiệm.

Kiểm tra thêm nếu có số nguyên tố khác bằng cách thử các số nguyên tố nhỏ hơn như 2 và 3. Nhận thấy không có số nào thỏa mãn, và qua tính toán, chỉ có \( p = 5 \) là nghiệm:

Do đó, số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện trên là **5**.