Để giải phương trình \( \tan 2x = \tan \frac{\pi}{3} \), trước hết, chúng ta cần biết rằng:

\[
\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\tan 2x = \sqrt{3}
\]

Phương trình này có nghiệm tổng quát là:

\[
2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Vì vậy, ta có thể giải cho \( x \):

\[
x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Tiếp theo, chúng ta cần xác định số nghiệm trong khoảng từ \([-20\pi; 20\pi]\).

Bây giờ, ta xác định giới hạn cho \( k \):

1. Tính nghiệm nhỏ nhất:
\[
x_{min} = \frac{\pi}{6} + \frac{k_{min} \pi}{2}
\]
Để \( x_{min} \geq -20\pi \):
\[
\frac{\pi}{6} + \frac{k_{min} \pi}{2} \geq -20\pi \implies \frac{k_{min}}{2} \geq -20 - \frac{1}{6} \implies k_{min} \geq -41
\]

2. Tính nghiệm lớn nhất:
\[
x_{max} = \frac{\pi}{6} + \frac{k_{max} \pi}{2}
\]
Để \( x_{max} \leq 20\pi \):
\[
\frac{\pi}{6} + \frac{k_{max} \pi}{2} \leq 20\pi \implies \frac{k_{max}}{2} \leq 20 - \frac{1}{6} \implies k_{max} \leq 40
\]

Vậy \( k \) có thể nhận các giá trị từ \(-41\) đến \(40\).

Tính số nghiệm:

\[
k_{max} - k_{min} + 1 = 40 - (-41) + 1 = 40 + 41 + 1 = 82
\]

Vậy, phương trình \( \tan 2x = \tan \frac{\pi}{3} \) có **82 nghiệm** trên đoạn \([-20\pi; 20\pi]\).