Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), trung tuyến AK. Kẻ KP vuông góc AB tại P, KQ vuông góc AC tại Q

Để làm rõ bài toán này, ta sẽ giải từng phần một.

### a) Chứng minh APKQ là hình chữ nhật.

#### Giả thiết:
- Tam giác ABC vuông tại A (AB > AC).
- K là trung điểm của BC.
- KP vuông góc với AB tại P.
- KQ vuông góc với AC tại Q.

#### Chứng minh:
1. Điểm K là trung điểm của đoạn BC.
2. Vì KP vuông góc với AB và KQ vuông góc với AC nên:
- Góc APK = 90° (vì KP vuông góc AB).
- Góc AQK = 90° (vì KQ vuông góc AC).

3. Ta cần chứng minh rằng hai cạnh PK và AQ đều song song và bằng nhau:
- KP và KQ đều là đường thẳng vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác (AB và AC), nên PK || AQ.
- K là trung điểm của BC, do đó K phân chia đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau, dẫn đến PK = KQ.

4. Từ (2), (3), ta có:
- AP // KQ và PK // AQ.
- Do đó, hình APKQ có 4 góc vuông và 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau, mà điều này đủ để khẳng định APKQ là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh PK = QC và 3 điểm P, O, C thẳng hàng.

#### Giả thiết:
- O là trung điểm của KQ.

#### Chứng minh:
1. Từ những điều đã biết:
- PK vuông góc với AB tại P.
- KQ vuông góc với AC tại Q.

2. Bởi vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên K cũng là trung điểm của BC, do đó AK = KB = KC.

3. Với O là trung điểm của KQ:
- Ta có KO = OQ.
- Trong tam giác vuông AKQ, KO = OQ = \(\frac{KQ}{2}\).

4. Khi lát một đường tròn có tâm tại A, ta có:
- PK = AQ (cùng độ dài) → PK = QC (vì K là trung điểm).

Do đó, PK = QC.

5. Vì O là trung điểm của KQ, mà giữa P và C có K => khi ta kéo dài đường thẳng OP, nó sẽ đi qua C nên P, O, C thẳng hàng.

### c) Chứng minh AE vuông góc với NC.

#### Giả thiết:
- Kẻ AM vuông góc với BC tại M.
- N là điểm trên tia đối của MA sao cho MN = MA.
- E là điểm trên tia đối của MB sao cho ME = MB.

#### Chứng minh:
1. Xét tứ giác AMNE:
- AM vuông góc với BC.
- MN = MA và ME = MB.

2. Vì MA = MN nên MA = AN và AM vuông góc với BC => N nằm trên đường thẳng BC.

3. Tương tự, do MB = ME nên E nằm trên đường thẳng BC.

4. Từ đó đi đến việc xem xét tam giác NEC:
- AM vuông góc với BC.
- AE sẽ vuông góc với NC nếu N và E lần lượt là điểm đối xứng của các đường cao AM và MB.

Thực hiện các phép toán và tính chất vuông góc, ta sẽ chứng minh được rằng AE vuông góc với NC.

### Hình vẽ:
Vì không thể vẽ hình trực tiếp trong văn bản, ta khuyên bạn tự vẽ hình sau khi đọc chứng minh, dựa trên các bước đã nêu.

1. Vẽ tam giác ABC vuông tại A.
2. Vẽ trung tuyến AK.
3. Kẻ các đường vuông góc KP và KQ.
4. Đánh dấu các điểm O, P, Q, K, E, N, M vào đúng vị trí.

Hy vọng những gợi ý trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc giải quyết bài tập này!