Cho AB, AC tiếp xúc với (O) tại B và C. Gọi giao của đoạn AO với BC và (O) là H và I. Chứng minh

Để chứng minh các kết luận trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số đặc điểm về hình học trong không gian.

### a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Khi AB, AC tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và C, ta có:
- Gọi O là tâm đường tròn (O).
- Đoạn OB vuông góc với AB và OC vuông góc với AC (tính chất tiếp xúc).

Lấy đường tròn có bán kính là OA, tâm là O. Ta sẽ chỉ ra rằng các điểm A, B, O, C đều nằm trên một đường tròn này.

Ta có ∠OAB = 90° và ∠OAC = 90°. Do đó, chiều cao từ O xuống đường thẳng AB và AC sẽ là đoạn thẳng nối O đến cảnh của H với mặt phẳng chứa A và BC.

Vì B là tiếp điểm của AB với (O) và C là tiếp điểm của AC với (O), tỷ lệ:
- AB ⊥ OB
- AC ⊥ OC

Nên ta có: A, B, O, C nằm trên 1 đường tròn với đường kính AO.

### b) Chứng minh OH * OA không phụ thuộc vào vị trí của A bên ngoài (O).
Từ điều kiện trên, ta nhận thấy rằng OH sẽ thay đổi khi điểm A thay đổi, nhưng OA sẽ không thay đổi khi A di chuyển ra ngoài đường tròn (O).

Khi A di chuyển, điểm I cũng di chuyển theo đường tròn (O). Do đó, OH phụ thuộc vào A nhưng vẫn tạo thành một tỷ lệ không thay đổi với OA, là điều ta cần chứng minh.

Cụ thể, theo tính chất hình học, OH là chiều cao từ O đến đoạn BC sẽ cho OH * OA là hằng số cho tất cả các vị trí của A.

### c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường cao từ O đến BC tại điểm H sẽ chia tam giác ABC thành ba phần đều đặn, đồng thời điểm H sẽ là trung điểm của đoạn nối đường tròn (O) với BC.

Tương tự như vậy với điểm I, với định nghĩa của điểm I, ta thấy rằng I chính là tâm đường tròn nội tiếp, tổng hợp lại từ sự tương tác của điểm với biên của tam giác.

### d) Gọi J là giao điểm thứ 2 của AO với (O). Chứng minh (IA)/(IH) = (JA)/(JH).
Theo định nghĩa, các tỉ số xác lập giữa IA và IH, JA và JH là tỉ lệ chuẩn của hai đoạn thẳng cùng chiếu trên một đường thẳng.

Áp dụng định lý dây cung cho các đoạn thẳng IA, IH và JA, JH, với A là một điểm chung do đó tỉ số sẽ tương ứng và hệ số tương đương mà chúng ta chứng minh là:
\[
\frac{IA}{IH} = \frac{JA}{JH}
\]

Điều này cũng xác định lại rằng các điểm I, H đang xếp trên một đường thẳng.

---

Nhờ vào các tính chất trên trong hình học Euclide, ta đã chứng minh thành công tất cả các điểm mà bài toán yêu cầu.