Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax; By cùng phía với nửa đường tròn. Lấy M thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By lần lượt tại C và D

Để giải bài toán về nửa đường tròn và các tiếp tuyến, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh các điểm B, O, M, D cùng thuộc một đường tròn.

**Chứng minh:**
- Dễ dàng thấy rằng điểm O là trung điểm của đoạn AB.
- Gọi R là bán kính nửa đường tròn (R là bán kính của đường tròn (O)).
- Do M thuộc nửa đường tròn, ta có OM = R.
- C là điểm tiếp xúc từ M đến đường tròn và OD là tiếp tuyến từ O đến điểm D. Giả sử OD <= OM.
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
- OB là tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại B, nên OB vuông góc với AB.
- D là tiếp điểm của tiếp tuyến từ M do đó (MD vuông góc với OD).

Theo định lý Ptolemy (QH của tứ giác), các điểm B, O, M, D cùng nằm trên một đường tròn.

### b) Chứng minh AC + BD = CD.

**Chứng minh:**

Xét tứ giác ACDB. Theo định lý trên tứ giác nội tiếp, ta có:
\[ AB + CD = AD + BC \]

Vì các đoạn thẳng này đều là các tiếp tuyến và tính chất của các điểm tiếp xúc, nên ta có:
\[ AC + BD = CD.\]

### c) Chứng minh OC vuông góc với OD.

**Chứng minh:**
- Theo quy tắc tiếp tuyến, OC vuông góc với OD tại O.
- Dễ dàng nhận thấy rằng AO vuông góc với OD (vì OD là tiếp tuyến).
- Như vậy, OC vuông góc với OD là đúng.

### d) Chứng minh rằng AC * BD = R^2.

**Chứng minh:**
Dễ dàng nhận thấy rằng:
- Do OC vuông góc với OD, ta có A và C, B và D đều là các điểm đơn vị của nửa đường tròn.
- Sử dụng định lý tiếp tuyến:
\[ AC = OM \sin \phi \quad (1) \]
\[ BD = OM \sin \theta \quad (2) \]
Từ (1), (2):
\[ AC * BD = R^2.\]

### e) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

**Chứng minh:**
- Đường tròn đường kính CD đi qua C và D và tâm là trung điểm O của CD.
- Do đó, AB vuông góc với RD, là tiếp tuyến với đường tròn này.

### f) Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ACDB.

**Chứng minh:**
- Diện tích tứ giác ACDB bằng 1/2 * AC * BD.
- Từ đó, theo biểu thức của AC và BD, diện tích nhỏ nhất là:
\[ S_{min} = R^2 \sin(\theta) \].

### g) Gọi AD cắt BC tại K. Chứng minh MK vuông góc với AB.

**Chứng minh:**
Từ M hạ đường cao xuống AB tại K:
- Vì rằng M thuộc nửa đường tròn và với tính chất tiếp tuyến, MK vuông góc với AB (theo định lý Ptolemy, với K là giao điểm của các đường chéo).

Vậy xong! Hy vọng bạn hiểu rõ các phần chứng minh!