Chứng minh rằng: \[ A = \frac{1}{6^2} - \frac{1}{6^4} + \frac{1}{6^6} - \frac{1}{6^8} + \ldots + \frac{1}{6^{998}} - \frac{1}{6^{1000}} < \frac{1}{37} \]

Để chứng minh rằng

\[
A = \frac{1}{6^2} - \frac{1}{6^4} + \frac{1}{6^6} - \frac{1}{6^8} + \ldots + \frac{1}{6^{998}} - \frac{1}{6^{1000}} < \frac{1}{37},
\]

chúng ta có thể nhận thấy rằng đây là một chuỗi phân số với từng phần tử là một số âm hoặc số dương.

### Bước 1: Xác định dạng chuỗi.
Chúng ta có thể viết lại A dưới dạng chuỗi:

\[
A = \sum_{n=1}^{500} \frac{(-1)^{n}}{6^{2n}}.
\]

### Bước 2: Tính tổng một chuỗi hữu hạn.
Chuỗi này là một chuỗi hình học với công bội \(r = -\frac{1}{6^2}\):

\[
A = \sum_{n=1}^{500} \left(-\frac{1}{6^2}\right)^{n} = \frac{-\frac{1}{6^2} \left[1 - \left(-\frac{1}{6^2}\right)^{500}\right]}{1 + \frac{1}{6^2}}.
\]

### Bước 3: Tính giá trị.
Tính giá trị của mẫu số:

\[
1 + \frac{1}{6^2} = 1 + \frac{1}{36} = \frac{37}{36}.
\]

Thay vào công thức tổng, ta có:

\[
A = \frac{-\frac{1}{36} \left[1 - \left(-\frac{1}{6^2}\right)^{500}\right]}{\frac{37}{36}} = -\frac{1}{37} \left[1 - \left(-\frac{1}{6^2}\right)^{500}\right].
\]

### Bước 4: Xử lý thành phần xấp xỉ.
Tính giá trị của \(\left(-\frac{1}{6^2}\right)^{500}\):

\[
\left(-\frac{1}{6^2}\right)^{500} = \frac{1}{36^{500}},
\]

với \(36^{500} \to \infty\), nên thành phần này tiệm cận 0 khi n → ∞. Do đó,

\[
A \approx -\frac{1}{37} (1 - 0) = -\frac{1}{37}.
\]

### Bước 5: Dưới ngưỡng
Bởi vì mỗi lần rút bớt một số dương trong tổng có dấu âm trước đó, nên:

\[
A < -\frac{1}{37}.
\]

Tuy nhiên, chúng ta so sánh A với một giá trị dương:

\[
A < \frac{1}{37}.
\]

### Kết luận
Vậy ta đã chứng minh rằng

\[
A < \frac{1}{37}.
\]

Điều này hoàn thành chứng minh yêu cầu bài toán.