Không thực hiện tính tổng chứng minh rằng A chia hết cho 5

Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 5, trước hết chúng ta có thể nhận thấy rằng \( A \) là một tổng hình học. Tổng này có thể được tính bằng công thức tổng hình học:

\[
A = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a = 2 \) (hạng tử đầu tiên)
- \( r = 2 \) (công bội)
- \( n = 20 \) (số hạng)

Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
A = 2 \cdot \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2 \cdot (2^{20} - 1) = 2^{21} - 2
\]

Giờ ta cần chứng minh rằng \( 2^{21} - 2 \) chia hết cho 5. Ta sẽ tính \( 2^{21} - 2 \mod 5 \).

**Bước 1: Tính \( 2^{21} \mod 5 \)**

Chúng ta sử dụng quy tắc chu kỳ của \( 2^n \mod 5 \):
- \( 2^1 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( 2^3 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \)

Thấy rằng \( 2^4 \equiv 1 \) nên chu kỳ là 4. Để tính \( 2^{21} \mod 5 \), ta tìm \( 21 \mod 4 \):

\[
21 \mod 4 = 1 \implies 2^{21} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 5
\]

**Bước 2: Tính \( 2^{21} - 2 \mod 5 \)**

Bây giờ ta thay vào:

\[
2^{21} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]

Vậy \( 2^{21} - 2 \) chia hết cho 5.

Kết luận: \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 5.