Viết B dưới dạng lũy thừa với cơ số 2

Để viết \( B = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} \) dưới dạng lũy thừa với cơ số 2, trước tiên hãy chú ý rằng \( 4 \) cũng có thể viết lại dưới dạng lũy thừa của 2:

\[
4 = 2^2.
\]

Vậy ta có thể viết lại \( B \) như sau:

\[
B = 2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20}.
\]

Bây giờ ta có hai số hạng \( 2^2 \) trong biểu thức. Do đó, \( B \) có thể được tính như sau:

\[
B = 2^2 + (2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20}).
\]

Ta có thể viết phần \( 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} \) như là tổng của một dãy số cấp số nhân. Đầu tiên, ta xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy:

- Số hạng đầu là \( 2^2 \) và số hạng cuối là \( 2^{20} \).

Số hạng của dãy này là:

\[
2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = \sum_{k=2}^{20} 2^k.
\]

Công thức tổng của dãy số cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{1-r^n}{1-r},
\]

trong đó \( a \) là số hạng đầu, \( r \) là công bội và \( n \) là số hạng. Ở đây:

- \( a = 2^2 = 4 \),
- \( r = 2 \),
- \( n = 20 - 2 + 1 = 19 \) (các số hạng từ \( 2^2 \) đến \( 2^{20} \)).

Áp dụng công thức vào:

\[
\sum_{k=2}^{20} 2^k = 2^2 \cdot \frac{1-2^{19}}{1-2} = 4 \cdot (2^{19} - 1) = 4 \cdot (2^{19} - 1).
\]

Như vậy, tổng \( B \) có thể viết lại là:

\[
B = 2^2 + 4(2^{19} - 1).
\]

Cuối cùng, ta cộng các hạng tử lại:

\[
B = 2^2 + 4 \cdot 2^{19} - 4 = 4 \cdot 2^{19} + 4 - 4 = 4 \cdot 2^{19}.
\]

Do đó, ta có:

\[
B = 2^2 (2^{19} - 1) = 2^2 \cdot 2^{19} = 2^{21} - 2^2.
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
B = 2^{21} - 2^2.
\]

Như vậy, kết quả cuối cùng là \( B = 2^{21} - 4 \).