Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \), chúng ta có thể nhận thấy rằng \( A \) là một cấp số nhân.

Cấp số nhân này có các đặc điểm sau:

- Số hạng đầu tiên là \( 2 \) (là \( 2^1 \)).
- Công bội \( q = 2 \).
- Số hạng cuối cùng là \( 2^{20} \).

Số hạng cuối cùng và số hạng đầu tiên có thể được xác định bằng công thức cấp số nhân. Số hạng thứ nhất là \( 2^1 \) và số hạng thứ 20 là \( 2^{20} \).

Để tính tổng của cấp số nhân này, ta sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân:

\[
S_n = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên,
- \( q \) là công bội,
- \( n \) là số hạng.

Áp dụng vào trường hợp này, chúng ta có:
- \( a = 2 \),
- \( q = 2 \),
- \( n = 20 \).

Vậy, tổng \( A \) sẽ được tính như sau:

\[
A = 2 \cdot \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2 \cdot (2^{20} - 1) = 2^{21} - 2
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} = 2^{21} - 2 \).