Cho AABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng phần như sau:

### a) Chứng minh: Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

**Chứng minh**:
1. **Điểm M là trung điểm của BC**, nên \(BM = MC\).
2. **MD vuông góc với AB** và **ME vuông góc với AC**, do đó:
- Tại D, \( AD \perp MD \)
- Tại E, \( AE \perp ME \)
3. **Xét các góc**:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên \(\angle ABC = 90^\circ\).
- Do M là trung điểm của BC, chúng ta có \(BM \perp AM\) (góc vuông).
4. Với các điều kiện trên, trong tứ giác ADME, ta có:
- \(AD \perp MD\) và \(AE \perp ME\)
- \(\angle DAE = 90^\circ\) (vì \(AD \perp AB\) và \(AE \perp AC\)).
5. Do đó, \(AD \parallel ME\) và \( AE \parallel MD\) (theo tính chất của hình chữ nhật).

Kết quả là: **Tứ giác ADME là hình chữ nhật**.

### b) Tứ giác AMCI là hình gì? Tính điều kiện để tứ giác AMCI là hình vuông.

1. **Tứ giác AMCI** được coi là hình gì phụ thuộc vào độ dài các cạnh và các góc:
- Nếu \(AM = AI\) và \( \angle AMC = 90^\circ \), thì tứ giác AMCI sẽ là hình vuông.
2. **Điều kiện**:
- Để tứ giác AMCI là hình vuông, cần có \(AM=AI\) và \(\angle AMC = 90^\circ\). Điều này phụ thuộc vào vị trí của I, tức là chọn I sao cho:
- \(E\) là trung điểm của \(MI\) (giả sử \(I\) được chọn đúng cách trên tia đối của tia \(EM\)).
- Tính chất của hình vuông yêu cầu \(AC = BC\) trong tam giác vuông này, hay cụ thể là \(AB = AC\).
3. Do đó, **điều kiện** cần có là: góc \(ABC\) phải là \(45^\circ\) để đảm bảo các cạnh phù hợp.

### c) Chứng minh AK vuông góc KN.

1. **M là trung điểm của NE**, do đó đoạn thẳng \(MN\) sẽ chia đoạn thẳng \(NE\) thành 2 đoạn bằng nhau: \(MN = ME\).
2. **Hạ EK vuông góc với BC tại K**: K là điểm trên BC sao cho \(EK \perp BC\).
3. **Tại A**, ta đã biết rằng tam giác ABC vuông, do đó \(AK \perp BC\).
4. **Sau đó**, xét ba điểm:
- \(A, K, N\): Ta sẽ chứng minh rằng \(AK \perp KN\).
5. **Xét góc tại K**:
- Ta có \(AK\) vuông góc với \(BC\), và từ mối quan hệ giữa M và N ta có thể chia ra góc từ \(AK\) qua đoạn KN.

Điều này dẫn đến **góc AKN** vuông, do đó, ta có \(AK \perp KN\).

Kết luận: **AK vuông góc KN**.