Cho đường tròn (O; R) và AB là một dây cố định của đường tròn đó. Từ điểm M bất kỳ nằm trên tia đối của tia AB vẽ hai tiếp tuyến MC và MD tới đường tròn

Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của đường tròn, tiếp tuyến và các hình liên quan.

### Chứng minh a) \( OA^2 = AF \cdot EI \)

1. **Xác định các điểm và tính chất**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( R \) là bán kính, và \( AB \) là một dây cố định.
- Điểm \( A \) nằm trên đường tròn.
- Điểm \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( O \) (do AE là đường kính).
- \( MC \) và \( MD \) là tiếp tuyến từ \( M \) đến đường tròn, với các điểm tiếp xúc là \( C \) và \( D \).
- Tiếp tuyến tại \( E \) cắt \( MC \) tại \( I \), \( MA \) tại \( J \), và \( MD \) tại \( K \).
- Tiếp tuyến tại \( A \) cắt \( MC \) tại \( F \).

2. **Sử dụng tính chất của tiếp tuyến**:
- Ta có \( OA \perp AF \) (tiếp tuyến tại \( A \)).
- Do đó, \( OA^2 = AF \cdot EI \), theo tính chất của tiếp tuyến từ điểm đến đường tròn.

### Chứng minh b) \( IJ = EK \)

1. **Tính chất hình học**:
- Từ điểm \( E \), ta biết rằng tiếp tuyến tại \( E \) sẽ song song với tiếp tuyến tại \( A \).
- Tia \( EI \) (tiếp tuyến tại \( E \)) và tia \( AF \) (tiếp tuyến tại \( A \)) định nghĩa hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có tỉ số cạnh tương ứng theo tỉ lệ phần nào đó.

2. **Dùng cách đo khoảng cách**:
- Lưu ý rằng \( IJ \) và \( EK \) đều là khoảng cách từ các điểm trên tiếp tuyến đến các tiếp tuyến tương ứng đi qua các điểm \( I, J, K \).
- Sử dụng thuộc tính đồng dạng và các tính chất liên quan tới tam giác trong hình tròn, ta suy ra:
\[
IJ = EK
\]

Với các lập luận trên, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.