Cho hình ABCD

Để giải bài toán này, ta có hình thoi \(ABCD\) với các điểm \(M\) và \(N\) như sau:

- \(M\) nằm trên đoạn \(AB\) sao cho \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} \)
- \(N\) nằm trên đoạn \(CD\) sao cho \( \overrightarrow{DN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{DC} \)

Ta cần tính \( \overrightarrow{MN} \) và chứng minh rằng \( \overrightarrow{MN} \) song song với \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \).

### Bước giải:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
Giả sử tọa độ của các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, h) \)
- \( D(b, h) \)

2. **Tính tọa độ điểm \(M\)**:
- Tọa độ \(M\) sẽ là:
\[
M = A + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = (0, 0) + \frac{1}{3}(a, 0) = \left(\frac{a}{3}, 0\right)
\]

3. **Tính tọa độ điểm \(N\)**:
- Tọa độ \(N\) sẽ là:
\[
N = D + \frac{1}{3} \overrightarrow{DC} = (b, h) + \frac{1}{3}((a+b - b), (h - h)) = \left(b + \frac{1}{3}(a), h\right) = \left(b + \frac{a}{3}, h\right)
\]

4. **Tính vector \( \overrightarrow{MN} \)**:
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = \left(b + \frac{a}{3}, h\right) - \left(\frac{a}{3}, 0\right)
\]
\[
\overrightarrow{MN} = \left(b, h\right)
\]

5. **Chứng minh \( \overrightarrow{MN} \) song song với \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \)**:
- Vector \( \overrightarrow{AD} = D - A = (b, h) \)
- Vector \( \overrightarrow{BC} = C - B = (b, h) \)

Nhận thấy rằng, cả hai vector \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \) đều có cùng hướng với \( \overrightarrow{MN} \).

### Kết luận:
Bản chất vector \( \overrightarrow{MN} \) song song với cả \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \), và bạn đã hoàn thành bài toán.