Cho tam gíac ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ H đến cạnh AB, AC

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

**a. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.**

- Trong tam giác vuông ABC, với A là góc vuông, H là chân đường cao từ A hạ xuống cạnh BC. M là chân vuông góc hạ từ H đến cạnh AB, N là chân vuông góc hạ từ H đến cạnh AC.
- Ta có AH vuông góc với BC, do đó cả các đoạn thẳng AM và AN đều vuông góc với cạnh AB và AC tương ứng.
- Nghĩa là, AM vuông góc với AH và AN vuông góc với AH.
- Do đó, tứ giác AMHN có 2 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau: AM ⊥ AH và AN ⊥ AH.
- Theo định nghĩa, nếu một tứ giác có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì nó là hình chữ nhật.

Vậy, tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

**b. Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC. Chứng minh BAH = CAI.**

- Đường trung tuyến AI sẽ nối đỉnh A với trung điểm I của cạnh BC.
- Do AH là đường cao nên H nằm trên BC, vì vậy tạo thành hai tam giác BAH và CAI.
- Ta có:
- BA = AC: B và C là hai đỉnh của tam giác vuông cùng cạnh AB và AC.
- AH = AH (đường cao từ A).
- Về góc: BAH là góc giữa cạnh AB và đường cao AH, trong khi CAI cũng có góc giữa cạnh AC và đường trung tuyến AI.
- Ta có thể áp dụng định lý Sin hoặc định lý Cosin để chứng minh rằng hai tam giác BAH và CAI có độ lớn góc như nhau và tương đương nhau.
- Hơn nữa, vì I là trung điểm của BC, nên BAH = CAI.

Kết luận: BAH = CAI.

**c. Chứng minh AI vuông góc với MN.**

- Từ các điểm M và N, ta có:
- M nằm trên AB và N nằm trên AC.
- AH vuông góc với BC, vì vậy MN là đường nối từ M đến N, nơi H là chân đường cao từ A.
- Từ định nghĩa, trong tam giác vuông ABC, AI là đường trung tuyến (nối A với trung điểm I của BC).
- Tại H là chân đường cao và M, N là chân đường vuông góc, cả hai đều vuông góc với cạnh BC. Do đó, AI vuông góc với cả hai chiều MN và mặt phẳng ABC.
- Mặt khác, do AH vuông góc với AC, và MN tạo thành một đường thẳng vuông góc với cả AH.
- Như vậy, đường trung tuyến AI cũng vuông góc với đường MN.

Vậy AI vuông góc với MN.

**Tóm lại:**
- Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
- BAH = CAI.
- AI vuông góc với MN.