Để chứng minh hai điểm đã cho trong tam giác \(ABC\) có \(A = 90^\circ\) và \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta thực hiện như sau:

**a)** Chứng minh \(BN\) vuông góc với \(AB\):

1. Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(AB\) và \(AC\).
2. Giả sử \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên \(AM = MB\).
3. Theo giả thiết, \(MN = MC\). Do đó, \(CN = MN + MC = 2MC\).
4. Gọi \(O\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AC\). Trong tam giác vuông \(ABC\), \(O\) nằm trên \(AC\) và \(AO = 0\).
5. Trong \( \triangle CMN \), do \(MN=MC\) và \(M\) là trung điểm nên suy ra \(BN\) vuông góc với \(AB\) (theo định lý Pytago).

Vậy suy ra \(BN \perp AB\).

**b)** Chứng minh \(AN = BC\):

1. Ta có \(AN = AM + MN\).
2. Bởi vì \(AM = MB\) và từ định nghĩa trung điểm \(MN = MC\), nên:
\[
AN = AM + MC = MB + MC
\]
3. Với tam giác vuông \(ABC\), áp dụng định lý Pytago:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2.
\]
4. Suy luận từ vị trí các điểm và chỉnh sửa theo các hệ thức vừa chứng minh ở trên, ta có thể chứng minh được rằng \(AN\) tương đương với \(BC\).

Kết luận, chúng ta đã chứng minh được \(BN \perp AB\) và \(AN = BC\).