Để giải bài toán này, ta cần tính giới hạn sau:

\[
\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right)
\]

Bước đầu tiên, để tính giới hạn này, ta có thể nhân và chia với liên hợp của biểu thức:

\[
\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}
\]

Bây giờ, ta sẽ xét biểu thức trong giới hạn:

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}
\]

Khi \( x \to -\infty \), ta có:

\[
\sqrt{x^2 + 1} \approx |x| = -x \quad (\text{vì } x < 0)
\]

Do đó, giới hạn trở thành:

\[
\sqrt{x^2 + 1} + x \approx -x + x = 0
\]

Và:

\[
\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 1} + x) = 0
\]

Nhưng để chính xác hơn, ta nhận thấy rằng:

\[
\sqrt{x^2 + 1} \approx -x \Rightarrow \sqrt{x^2 + 1} + x \approx -x + x + \frac{1}{2|x|} = \frac{1}{2|x|} \quad (\text{biểu thức thêm vào từ khai triển Taylor})
\]

Vậy nên:

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\frac{1}{2|x|}} = 0
\]

Cuối cùng, ta kết luận:

\[
\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) = 0
\]

Vậy \( x \) trong giới hạn này tiến đến 0.