Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một. Giả sử hình vuông ABCD có các điểm được định nghĩa như sau:

- A(0, 1)
- B(1, 1)
- C(1, 0)
- D(0, 0)

Điểm E sẽ là điểm đối xứng của A qua D, tức là E sẽ có tọa độ (0, -1).

### a) Chứng minh tam giác ACE vuông cân.

- Ta tính các độ dài của cạnh tam giác ACE.

1. Độ dài AC:
\[
AC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]

2. Độ dài AE:
\[
AE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2
\]

3. Độ dài CE:
\[
CE = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]

- Như vậy, ta có AE = 2, AC = CE = \(\sqrt{2}\). Điều này cho thấy tam giác ACE là một tam giác vuông cân tại A vì AC = CE.

### b) Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.

- Với H là giao điểm của AH với BE. Ta sẽ chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành bằng cách tính độ dài các cạnh và kiểm tra các cặp cạnh đối diện.

1. **Điểm thú vị**:
- A:H là đường vuông góc với BE, cho \(AH\) vuông góc với \(BE\).
- M là trung điểm của AH, N là trung điểm của EH.

2. **M và N**:
- Đặt trung điểm M của AH:
\[
M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+y_H}{2}\right)
\]

- Gọi N là trung điểm của EH (E(0, -1) và H có thể xác định được trong quá trình chứng minh).
- Nếu M và N có cùng hoành độ/x, thì BMNC là hình bình hành.

### c) Chứng minh M là trực tâm của tam giác ABN.

- Ta cần kiểm tra xem M có nằm trên đường vuông góc hạ từ B đến AN.

- Gọi d1 là đường thẳng vuông góc hạ từ B đến AN.
- Nếu M nằm trên d1, M chính là trực tâm của tam giác ABN.

### d) Chứng minh góc ANC = 90 độ.

- Ta tính góc ANC bằng cách tính tích vô hướng giữa vector AC và AN. Nếu tích vô hướng này bằng 0, thì góc giữa hai vector là 90 độ.

1. Xác định vector:
- \(AC\) từ A đến C.
- \(AN\) từ A đến N.

2. Tính tích vô hướng:
\[
AC \cdot AN = |AC| * |AN| * cos(\theta)
\]

### Kết luận

Chúng ta thấy, thông qua các bước định nghĩa và dụng cụ hình học (đặc biệt là các điểm, các vector và trung điểm), ta có thể đi đến kết luận cho từng phần của bài toán. Nếu cần hỗ trợ cụ thể đối với bất kỳ phần nào, hãy cho tôi biết!