Cho ∆ABC, trên cạnh AB lấy điểm M (khác A và B). Qua M kẻ đường thẳng song song với BC nó cắt AC tại N

Để chứng minh các tính chất trong ∆ABC với điểm M trên cạnh AB, ta sẽ làm từng phần như sau:

### a) Chứng minh \(AMN = ABC\)

1. **Đường thẳng qua M song song với BC**: Vì MN // BC, theo định lý về hai đường thẳng song song cắt bởi một đường cắt (trong trường hợp này là AC), ta có:
\[
\angle AMN = \angle ABC
\]
\[
\angle ANM = \angle ACB
\]

2. **Tam giác AMN và tam giác ABC**: Do hai cặp góc tương ứng bằng nhau, ta suy ra rằng:
\[
\triangle AMN \sim \triangle ABC
\]

3. **Tỉ lệ cạnh**: Do đó, có:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \quad \text{(theo định lý tương thích)}
\]

### b) Kẻ tia My và Bz

1. **Kẻ tia My** theo chiều AM và **tia Bz** theo chiều BC: Ta có
- Tia \(My\) là tia phân giác của \(AMN\).
- Tia \(Bz\) là tia phân giác của \(ABC\).

2. **Tỉ lệ giữa các đoạn**: Vì tia phân giác chia đoạn thành tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}
\]
Do đó, \(My\) và \(Bz\) tạo ra tỉ lệ giống nhau.

### c) Kẻ tia Mt vuông góc với Bz

1. **Kẻ tia Mt** vuông góc với Bz: Điều này cho thấy Mt chia Bz với một góc vuông.

2. **Chứng minh Mt là tia phân giác của BMN**: Theo định lý về đường vuông góc và tia nào đó, từ đây ta có:
- Nếu Mt cắt Bz tại T, thì:
\[
\angle BMT = \angle BNM
\]

3. Từ đó, suy ra Mt chính là tia phân giác của \(BMN\).

### Kết luận

Ta đã chứng minh xong các phần yêu cầu trong bài toán theo từng bước cụ thể.