Cho tam giác vuông ABC với \(C\) là điểm vuông góc, ta có \(AC = \frac{5}{13} AB\) và đặt \(AB = 13k\) (với \(k > 0\)) thì \(AC = 5k\).

Ta có \(BC\) được tính bằng định lý Pythagore:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
\[
(13k)^2 = (5k)^2 + BC^2
\]
\[
169k^2 = 25k^2 + BC^2
\]
\[
BC^2 = 169k^2 - 25k^2 = 144k^2
\]
\[
BC = 12k
\]

Tiếp theo, ta có thể tính các giá trị cần tìm:

1. **Tính cos A:**
\[
\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}
\]

2. **Tính tan B:**
\[
\tan B = \frac{BC}{AC} = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5}
\]

3. **Tính sin A và sin B:**
\[
\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}
\]
\[
\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}
\]
\[
\sin A + \sin B = \frac{12}{13} + \frac{5}{13} = \frac{17}{13}
\]

4. **Tính cot A và cot B:**
\[
\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{AC}{BC} = \frac{5k}{12k} = \frac{5}{12}
\]
\[
\cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{AC}{AB} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}
\]

Cuối cùng, tính tổng \(cot A + cot B\):
\[
cot A + cot B = \frac{5}{12} + \frac{5}{13}
\]

Sử dụng mẫu số chung là 156:
\[
cot A + cot B = \frac{5 \cdot 13}{156} + \frac{5 \cdot 12}{156} = \frac{65 + 60}{156} = \frac{125}{156}
\]

Tóm lại:
- a) \( \cos A = \frac{5}{13} \)
- b) \( \tan B = \frac{12}{5} \)
- c) \( \sin A + \sin B = \frac{17}{13} \)
- d) \( cot A + cot B = \frac{125}{156} \)