Tính \( \overline{AD} \) theo \( \overline{AB}, \overline{AC} \). Chứng minh: \( A, I, D \) là điểm thẳng hàng

Để tính \( \overline{AD} \) theo \( \overline{AB}, \overline{AC} \), ta sẽ sử dụng định lý phân giác trong tam giác.

Giả sử \( D \) là điểm trên đoạn \( BC \) sao cho \( \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \frac{AC}{AB} \).

Áp dụng định lý phân giác, ta có:

\[
\overline{AD} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}}{\overline{AB} + \overline{AC}}.
\]

### Chứng minh \( A, I, D \) thẳng hàng:

Gọi \( I \) là tâm nội tiếp của tam giác \( ABC \). Tính chất của điểm \( I \) là phân giác của các góc trong tam giác. Ta có:

- \( \overline{AI} \) là phân giác của góc \( A \).
- \( D \) nằm trên đoạn thẳng \( BC\) và thỏa mãn tỉ lệ \( \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} \).

Vì \( I \) là điểm phân giác, và \( D \) được xác định để thỏa mãn tỉ lệ này liên quan đến \( B \) và \( C \), suy ra \( A, I, D \) nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận:

Như vậy, ta đã tính được \( \overline{AD} \) và chứng minh được \( A, I, D \) thẳng hàng.