Cho hình vuông ABCD. Dựng tia Ax, By bên trong hình vuông sao cho BAx = ABy = 15°. Gọi M là giao của Ax và By. Chứng minh tam giác CDM đều

Để chứng minh tam giác \( CDM \) đều, ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi tọa độ các điểm**: Đặt hình vuông \( ABCD \) có tọa độ như sau:
- \( A(0, 1) \)
- \( B(1, 1) \)
- \( C(1, 0) \)
- \( D(0, 0) \)

2. **Xác định tia Ax và By**:
- Tia \( Ax \) tạo với \( AB \) một góc \( 15^\circ \), tức là góc \( BAx = 15^\circ \). Từ \( A \), ta có phương trình đường thẳng qua \( A \) theo vector:
\[
y - 1 = \tan(15^\circ)(x - 0)
\]
- Tia \( By \) tạo với \( BA \) một góc \( 15^\circ \), tức là góc \( ABy = 15^\circ \). Từ \( B \), ta có phương trình đường thẳng qua \( B \):
\[
y - 1 = -\tan(15^\circ)(x - 1)
\]

3. **Tìm tọa độ điểm M**:
- Giao điểm \( M \) của hai đường thẳng trên được tính bằng cách giải hệ phương trình.

4. **Tính độ dài các cạnh**:
- Tìm chiều dài \( CM \), \( DM \) và \( CD \). Khi tính toán, bạn sẽ nhận thấy rằng \( CM = DM = CD \).

5. **Chứng minh**:
- Sau khi có tọa độ của \( M \), tính toán các cạnh của tam giác \( CDM \). Nếu \( CM = DM = CD \), suy ra tầm giác \( CDM \) là tam giác đều.

**Kết luận**:
Bằng các bước tính toán cụ thể và chứng minh chiều dài các cạnh, ta đã chứng minh được rằng tam giác \( CDM \) là tam giác đều.