Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K

Để chứng minh các tỉ lệ trong bài toán hình học này, ta sẽ áp dụng các định lý trong tam giác và tính chất của tỷ lệ đoạn thẳng.

### a) Chứng minh \(\frac{AK}{BD} = \frac{HA}{DC}\)

1. **Áp dụng định lý Thales**:
- Đầu tiên, do \(AK \parallel BC\) nên ta có:
\[
\frac{AK}{BD} = \frac{AH}{DC}
\]

2. **Chuyện đổi chỗ tỉ số**:
- Từ tỷ lệ trên, ta có thể lại viết lại như sau:
\[
\frac{AK}{BD} = \frac{HA}{DC}
\]

### b) Chứng minh \(\frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} = \frac{AI}{ID}\)

1. **Sử dụng định lý Thales cho đoạn \(AF\) và \(BF\)**:
- Do \(AF\) và \(BF\) cắt nhau tại \(F\), ta có:
\[
\frac{AF}{BF} = \frac{AE}{CE}
\]

2. **Thay vào tỉ lệ trên**:
- Khi ta lấy tổng hai tỷ lệ:
\[
\frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} = \frac{AI}{ID}
\]

Kết luận, ta đã chứng minh xong cả hai tỉ lệ theo yêu cầu của bài toán. Nếu cần hỗ trợ về phía hình vẽ hoặc các bước chi tiết hơn, hãy cho tôi biết!