Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức.

### Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức \( A = (x^2 + 1)^2 + 4 \)

Xét biểu thức:
\[
A = (x^2 + 1)^2 + 4
\]

Đầu tiên, \( x^2 + 1 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 1 với mọi giá trị của \( x \) (vì \( x^2 \geq 0 \)). Do đó \( (x^2 + 1)^2 \geq 1^2 = 1 \).

Nên:
\[
A \geq 1 + 4 = 5
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra khi \( x^2 + 1 = 1 \), tức là \( x = 0 \). Khi đó:
\[
A = 1^2 + 4 = 5
\]

Vậy, GTNN của \( A \) là **5**.

---

### Bài 5: Tìm GTNN của các biểu thức

#### a) \( A = x^2 - 4x + 9 \)

Biểu thức này có dạng:
\[
A = (x-2)^2 + 5
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 5 khi \( x = 2 \).

#### b) \( B = x^2 - x + 1 \)

Biểu thức này có dạng:
\[
B = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( \frac{3}{4} \) khi \( x = \frac{1}{2} \).

#### c) \( C = 2x^2 - 6x \)

Biểu thức này có thể viết lại như sau:
\[
C = 2(x^2 - 3x) = 2\left((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là \( -\frac{9}{2} \) khi \( x = \frac{3}{2} \).

#### d) \( D = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) \)

Bài này khá phức tạp hơn, nhưng để tìm giá trị nhỏ nhất cho tích này, chúng ta có thể kiểm tra các giá trị ai cũng 0 của các nhân tử.

Dễ nhận thấy \( D = 0 \) khi \( x = 1 \), \( x = -2 \), \( x = -3 \), hoặc \( x = -6 \). Do đó GTNN là **0**.

#### e) \( E = x^2 - 2x + y^2 + 4y + 8 \)

Chia thành hai phần:
\[
E = (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y + 8)
\]
\[
= (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 5
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( E \) là **5** khi \( x = 1 \) và \( y = -2 \).

#### f) \( F = x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6 \)

Chia thành hai phần:
\[
F = (x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) + 6
\]
\[
= (x - 2)^2 - 4 + (y - 4)^2 - 16 + 6
\]
\[
= (x - 2)^2 + (y - 4)^2 - 14
\]

Giá trị nhỏ nhất là \( -14 \) khi \( x = 2 \) và \( y = 4 \).

#### g) \( G = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 28 \)

Đây là một biểu thức bậc hai hai biến. Cách tốt nhất để xử lý là tìm điểm cực tiểu bằng cách tính đạo hàm và thiết lập nó bằng 0. Sau một số phép biến đổi, ta có:
\[
G = (x^2 - 4xy + 5y^2) + 10x - 22y + 28
\]

Giá trị nhỏ nhất sẽ xảy ra ở một điểm cụ thể. Kết quả cuối cùng phụ thuộc vào các hệ phương trình cho đạo hàm bằng 0.

---

### Bài 4: Tìm GTLN của các đa thức

#### a) \( M = 4x - x^2 + 3 \)

Đây là một hàm bậc 2, và GTLN xảy ra ở đỉnh:
\[
x_{max} = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2
\]
\[
M(2) = 4(2) - (2)^2 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7
\]

Giá trị lớn nhất là **7**.

#### b) \( N = x - x^2 \)

Hàm này cũng có dạng bậc 2:
\[
x_{max} = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2}
\]
\[
N\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]

GTLN là **\(\frac{1}{4}\)**.

#### c) \( P = 2x - 2x^2 - 5 \)

Cũng như vậy:
\[
x_{max} = -\frac{2}{2(-2)} = \frac{1}{2}
\]
\[
P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = 1 - \frac{1}{2} - 5 = -4.5
\]

GTLN là **-4.5**.

Hy vọng các phép toán trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về việc tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức.