Chứng minh rằng: -x²+4x-5 < 0 với mọi x

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng biểu thức theo yêu cầu.

### Bài 1

#### a) Chứng minh rằng -x² + 4x - 5 < 0 với mọi x.

Đầu tiên, ta rearrange biểu thức:
\[
-x^2 + 4x - 5 = -(x^2 - 4x + 5)
\]

Ta sẽ phân tích biểu thức trong ngoặc:
\[
x^2 - 4x + 5
\]

Để xác định dấu của biểu thức này, ta tính delta (Δ) của nó:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4
\]

Vì delta nhỏ hơn 0, nên đa thức này không có nghiệm thực và có hệ số a dương (1), do đó, \(x^2 - 4x + 5 > 0\) với mọi x. Từ đây suy ra:
\[
-x^2 + 4x - 5 < 0 \quad \text{với mọi } x
\]

#### b) Chứng minh rằng x^4 + 3x² + 3 > 0 với mọi x.

Ta phân tích biểu thức:
\[
x^4 + 3x^2 + 3
\]
Gọi \(y = x^2\), khi đó biểu thức trở thành:
\[
y^2 + 3y + 3
\]

Tính delta của đa thức \(y^2 + 3y + 3\):
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3
\]

Vì delta nhỏ hơn 0 nên đa thức này không có nghiệm thực và a > 0. Vậy \(y^2 + 3y + 3 > 0\) với mọi y (tương ứng với mọi x). Do đó:
\[
x^4 + 3x^2 + 3 > 0 \quad \text{với mọi } x
\]

#### c) Chứng minh rằng (x² + 2x + 3)(x² + 2x + 4) + 3 > 0 với mọi x.

Ta xét từng yếu tố trong dấu ngoặc:
1. Tính delta của \(x^2 + 2x + 3\):
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8
\]

Vậy \(x^2 + 2x + 3 > 0\) với mọi x.

2. Tính delta của \(x^2 + 2x + 4\):
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12
\]

Vậy \(x^2 + 2x + 4 > 0\) với mọi x.

Từ đó suy ra:
\[
(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 4) > 0 \quad \text{với mọi } x
\]
Thêm 3 thì:
\[
(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 4) + 3 > 3 > 0
\]
Vậy biểu thức > 0 với mọi x.

### Bài 2

#### a) Chứng minh rằng A = x² - x + 1 > 0 với mọi x.

Tính delta:
\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
Vậy \(x^2 - x + 1\) không có nghiệm thực và a > 0, suy ra:
\[
A > 0 \quad \text{với mọi } x
\]

#### b) Chứng minh rằng B = (x - 2)(x - 4) + 3 > 0 với mọi x.

Ta khai triển:
\[
B = x^2 - 6x + 8 + 3 = x^2 - 6x + 11
\]
Tính delta:
\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8
\]
Vậy \(x^2 - 6x + 11 > 0\) với mọi x.

#### c) Chứng minh rằng C = 2x² - 4xy + 4y² + 2x + 5 > 0 với mọi x, y.

Ta xét biểu thức:
\[
C = 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x + 5
\]
Để chứng minh C > 0, ta có thể nhóm lại:
\[
C = 2(x^2 - 2xy + 2y^2) + 2x + 5 = 2(x - y)^2 + 2y^2 + 2x + 5
\]
Dễ thấy rằng \(2(x - y)^2 + 2y^2 > 0\) và \(2x + 5 > 0\) với mọi giá trị thực của x và y. Do đó:
\[
C > 0 \quad \text{với mọi } x, y
\]

Kết thúc chứng minh.