Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( B = x + y + 2024 \) với điều kiện \( x^2 + 2xy + 6x + 6y + 2y^2 + 8 = 0 \), trước hết ta sẽ phân tích phương trình này.

Phương trình có thể được sắp xếp lại theo dạng chuẩn:

\[
x^2 + 2xy + 2y^2 + 6x + 6y + 8 = 0.
\]

Ta có thể nhóm lại các hạng tử:

\[
(x^2 + 2xy + 2y^2) + (6x + 6y) + 8 = 0.
\]

Tiếp theo, ta sẽ hoàn thành bình phương cho phần \( x^2 + 2xy + 2y^2 \):

\[
x^2 + 2xy + 2y^2 = (x + y)^2 + y^2 = (x + y)^2 + (y^2),
\]

và giữ nguyên phần còn lại:

\[
B = (x+y)^2 + y^2 + 6(x+y) + 8 = 0.
\]

Gọi \( S = x + y \), ta có thể viết lại phương trình là:

\[
S^2 + y^2 + 6S + 8 = 0.
\]

Bây giờ, để tìm mối liên hệ giữa \( S \) và \( y \), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( S \):

\[
y^2 = -S^2 - 6S - 8 \quad (1).
\]

Để \( y^2 \geq 0 \), biểu thức bên phải (1) phải không âm:

\[
-S^2 - 6S - 8 \geq 0.
\]

Giải bất phương trình này. Đầu tiên, tìm các nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
-S^2 - 6S - 8 = 0.
\]
Áp dụng công thức nghiệm:

\[
S = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(-1)(-8)}}{2(-1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{-2} = \frac{6 \pm 2}{-2}.
\]

Ta có:

\[
S_1 = \frac{8}{-2} = -4, \quad S_2 = \frac{4}{-2} = -2.
\]

Do đó bất phương trình \( -S^2 - 6S - 8 \) có nghiệm trong khoảng \( S \in [-4, -2] \). Bây giờ, ta thay \( S \) vào biểu thức \( B \):

\[
B = S + 2024.
\]

Từ đó ta tìm được:

- Khi \( S = -4 \):
\[
B = -4 + 2024 = 2020.
\]

- Khi \( S = -2 \):
\[
B = -2 + 2024 = 2022.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \( B \) là:

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất là } 2020, \quad \text{giá trị lớn nhất là } 2022.
\]

Kết luận:
- Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( 2020 \).
- Giá trị lớn nhất của \( B \) là \( 2022 \).