Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mời hàm số \( g(x) = \frac{\ln x}{x} \) trên đoạn \([1; 4]\) có dạng \[ \frac{a}{2} \ln(b) \text{ với } a, b \text{ là các số tự nhiên. Khi đó tổng } (a + b) \text{ bằng} \]

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( g(x) = \frac{\ln x}{x} \) trên đoạn \([1; 4]\), ta cần tính đạo hàm và xác định các điểm cực trị trong khoảng này.

1. **Tính đạo hàm của \( g(x) \)**:
\[
g'(x) = \frac{(x \cdot \frac{1}{x} - \ln x)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}
\]

2. **Giải phương trình \( g'(x) = 0 \)**:
\[
1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e
\]

3. **Xác định giá trị \( g(e) \)**:
Rất đáng lưu ý là \( e \approx 2.718 \) nằm trong khoảng \([1, 4]\).
\[
g(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}
\]

4. **Tính giá trị \( g(x) \) tại các đầu mút của đoạn \([1, 4]\)**:
- Tại \( x = 1 \):
\[
g(1) = \frac{\ln 1}{1} = 0
\]
- Tại \( x = 4 \):
\[
g(4) = \frac{\ln 4}{4} = \frac{2 \ln 2}{4} = \frac{\ln 2}{2}
\]

5. **So sánh các giá trị**:
- \( g(1) = 0 \)
- \( g(e) = \frac{1}{e} \)
- \( g(4) = \frac{\ln 2}{2} \)

Ta cần so sánh:
- \( 0 < \frac{1}{e} < \frac{\ln 2}{2} \) (vì \( e \approx 2.718 \) và \( \ln 2 \approx 0.693 \)):
- \( \frac{1}{e} \approx 0.367 < 0.346 < 0.5 \)

6. **Giá trị cực trị**:
- Giá trị nhỏ nhất: \( g(1) = 0 \)
- Giá trị lớn nhất: \( g(4) = \frac{\ln 2}{2} \)

7. **Tính tổng \( a + b \)**:
Giá trị lớn nhất là \( \frac{\ln 2}{2} \), có dạng \( \frac{a}{2} \ln b \) với \( a = 1, b = 2 \).

Vậy tổng \( a + b = 1 + 2 = 3 \).

**Kết luận**:
Tổng \( (a + b) \) bằng \( 3 \).