Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 6 km. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới mặt đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bó cách A bao nhiêu km để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?

Để giải bài toán này, ta cần tìm vị trí tối ưu của điểm \( S \) để chi phí lắp đặt dây điện từ \( A \) qua \( S \) và đến \( C \) là tối thiểu.

1. **Đặt các biến:**
- Gọi khoảng cách từ \( A \) đến \( S \) là \( x \) km.
- Điều này có nghĩa là khoảng cách từ \( S \) đến \( B \) sẽ là \( (6 - x) \) km.

2. **Tính khoảng cách từ \( S \) đến \( C \):**
- Khoảng cách từ \( S \) đến \( C \) có thể tính bằng định lý Pythagore:
\[
SC = \sqrt{(1)^2 + (6 - x)^2} = \sqrt{1 + (6 - x)^2}
\]

3. **Tính chi phí:**
- Chi phí đặt dây điện từ \( A \) qua \( S \) và đến \( C \) sẽ là:
\[
C = 3000x + 5000 SC = 3000x + 5000 \sqrt{1 + (6 - x)^2}
\]

4. **Tối ưu hóa chi phí:**
- Để tìm giá trị \( x \) tối ưu, ta sẽ tính đạo hàm của hàm chi phí \( C \) theo biến \( x \), sau đó giải phương trình \( C' = 0 \).

5. **Giải phương trình cụ thể:**
- Tính đạo hàm:
\[
C' = 3000 + 5000 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + (6 - x)^2}} \cdot 2(6 - x)(-1)
\]
- Đặt lại và giải phương trình:
\[
3000 - \frac{5000(6 - x)}{\sqrt{1 + (6 - x)^2}} = 0
\]

6. **Giải phương trình để tìm \( x \)**:
- Từ đây, ta sẽ giải ra giá trị của \( x \).

7. **Kiểm tra tính đúng đắn**:
- Xác minh rằng chi phí tối thiểu khi sử dụng giá trị \( x \) này.

Thông qua các bước nêu trên, bạn sẽ tìm được khoảng cách tối ưu từ \( A \) đến \( S \) để tiết kiệm chi phí lắp đặt dây điện. Hãy thực hiện các phép tính cụ thể để có giá trị chính xác cho \( x \).