Để giải phương trình \((x+3)(x+y-5) = 7\) và tìm các giá trị nguyên của \(x\) và \(y\), ta sẽ tiến hành phân tích như sau:

1. Khai triển phương trình:
\[
(x + 3)(x + y - 5) = 7
\]
Sẽ có:
\[
x^2 + (y - 2)x + (3y - 15) = 7
\]
Chuyển 7 sang bên trái:
\[
x^2 + (y - 2)x + (3y - 22) = 0
\]

2. Tìm điều kiện để phương trình bậc hai theo \(x\) có nghiệm nguyên:
Để phương trình có nghiệm nguyên, phân biệt của phương trình bậc hai này phải là một số chính phương. Tính toán phân biệt:
\[
D = (y - 2)^2 - 4(3y - 22)
\]

Tính \(D\):
\[
D = (y - 2)^2 - 12y + 88 = y^2 - 4y + 4 - 12y + 88 = y^2 - 16y + 92
\]

Để \(D\) là một số chính phương, ta cần:
\[
D = k^2 \quad \text{với } k \text là số nguyên.
\]

3. Giải bất phương trình:
Ta cần giải phương trình:
\[
y^2 - 16y + (92 - k^2) = 0
\]
Mà \(D \geq 0\) để có nghiệm thực:
\[
16^2 - 4(1)(92 - k^2) \geq 0
\]
Giải bất phương trình:
\[
256 - 368 + 4k^2 \geq 0 \implies 4k^2 - 112 \geq 0 \implies k^2 \geq 28 \implies k \geq \sqrt{28} \approx 5.29
\]
Vậy \(k \geq 6\).

4. Tìm các giá trị nguyên cho \(y\):
Ta sẽ thử với các giá trị \(k = 6, 7, 8, ...\) và tính \(y\) sao cho \(y\) nguyên.

- Với \(k = 6\):
\[
y^2 - 16y + 56 = 0 \implies D = 0 \implies y = 8.
\]

- Với \(k = 7\):
\[
y^2 - 16y + 43 = 0 \implies D = 28 < 0 \implies không có nghiệm.
\]

- Với \(k = 8\):
\[
y^2 - 16y + 28 = 0 \implies D = 64 > 0 \implies có nghiệm nguyên.
\]

Lặp lại quy trình này và thử các giá trị khác cho trước đến \(k\) đạt điều kiện.

Sau khi tìm được giá trị của \(y\), chúng ta có thể thay vào để tìm \(x\) từ phương trình bậc hai đã tìm được trước đó và kiểm tra điều kiện nguyên của \(x\).

Cuối cùng, ta có thể tổng hợp được các cặp \((x, y)\) nguyên từ điều kiện trên.